3.4.1 函数与方程教学实录

用二分法求方程的近似解

学习目标：

1.理解二分法的原理及其适用条件. 2.掌握二分法的实施步骤. 3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.

教学重难点：

二分法的灵活运用

思考：我们已经知道f(x)＝ex－3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？

答案

①取区间(1,2)的中点1.5. ②计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)≈－0.018. 因为f(1.5)·f(2)<0，所以零点在区间(1.5,2)内.

梳理：

二分法的概念

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤：

第一步：取一个区间(a，b)，使f(a)·f(b)<0，令a0＝a，b0＝b；

第二步：取区间(a0，b0)的中点，x0＝

(a0＋b0)；

第三步：计算f(x0). (1)若f(x0)＝0，则x0就是f(x)＝0的解，计算终止；

(2)若f(a0)·f(x0)<0，则解位于区间(a0，x0)中，令a1＝a0，b1＝x0；

(3)若f(x0)·f(b0)<0，则解位于区间(x0，b0)中，令a1＝x0，b1＝b0.

第四步：取区间(a1，b1)的中点，x1＝

(a1＋b1)，重复第二步和第三步，直到第n步，方程的解总位于区间(an，bn)内.

第五步：当an，bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.

题型探究：

例1

用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个零点(精确到0.1).

解

由于f(0)＝－3＜0，

f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，

故可取区间(1,2)作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：

区间

(1,2)

(1,1.5)

(1.25,1.5)

(1.375,1.5)

(1.437 5,1.5)

中点的值

1.5

1.25

1.375

1.437 5

1.468 75

中点函数值(或近似值)

0.375

－1.047

－0.400

－0.030

0.168

0.068

0.019

(1.437 5,1.468 75)

1.453 125

(1.437 5,1.453 125)

1.445 313

因为1.437 5和1.445 313精确到0.1的近似值都是1.4，所以f(x)的零点的近似值为1.4.

引申探究：

3如何求2的近似值(精确到0.1)?

3解

设x＝2，则x3＝2，即x3－2＝0，

3令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是2的近似值，以下用二分法求其零点. 由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：

区间

中点的值

中点函数值

(1,2)

1.5

1.375

(1,1.5)

1.25

－0.046 9

(1.25,1.5)

1.375

0.599 6

(1.25,1.375)

1.312 5

0.261 0

(1.25,1.312 5)

1.281 25

0.103 3

(1.25,1.281 25)

1.265 625

0.027 3

(1.25,1.265 625)

1.257 812 5

－0.010 0

3由于1.265 625和1.257 812 5精确到0.1的近似值都是1.3，所以2的近似值是1.3. 用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算.

跟踪训练1

借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1).

例2

若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)二等分的次数至少为____.

跟踪训练2

在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于________.

1.下列函数中，只能用二分法求其零点的是________. ①y＝x＋7;

②y＝5x－1；

③y＝log3x;

④y＝(

)x－x.

2.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.

3.

方程2x－1＋x＝5的根所在的区间为________.

4.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________.

课堂小结：

1.二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号. 3.求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.

本课结束