1.1 集合的含义及其表示PPT专用教学设计内容

教学目标

理解集合之间包含与相等的含义，会写给定集合的子集；

理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

教学重点

求两个简单集合的并集、交集与给定子集的补集。

教学难点

求两个简单集合的并集、交集与给定子集的补集。

【知识导图】

教学过程

一、导入

有关集合的考题，考查重点是集合与集合之间的关系，解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强对集合表示方法的理解。

二、知识讲解

1

元素和集合

考点1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

2．集合中元素与集合的关系：

元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. 3．常见集合的符号表示：

集合

表示

4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图．

自然数集

N

正整数集

N*或N＋

整数集

Z

有理数集

Q

实数集

R

考点2

集合间的基本关系

描述关系

相等

集合间的基本关系

真子集

子集

文字语言

集合A与集合B中的所有元素都相同

A中任意一元素均为B中的元素

A中任意一元素均为B中的元素，且BA中至少有一个元素A中没有

空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集

∅∅⊆B

B(B≠∅) B或BA

符号语言

A＝B

A⊆B或B⊇A

空集

考点3

集合的基本运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

若全集为U，则集合A的补集为∁UA

符号表示

A∪B A∩B 图形表示

意义

{x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A}

三

、例题精析

类型一

集合与元素

例题1

(1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(

) A．3

(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝________.

B．6

C．8

D．10 【规范解答】(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4. ∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，

∴B中所含元素的个数为10. n1nmm0m2(2)由M＝N知或∴或故(m－n)2 013＝－1或0. log2nmlog2nmn1n2【总结与反思】1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2．对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．

类型二

集合的交并集运算

已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围为（ ）．

【解析】解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y

例题1

由，得

∴或. 或. .而A∩B≠φ时a的范围显然是其补即A∩B＝φ时a的范围为集,从而所求范围为【总结与反思】 （1）一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．

（2）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论思想的应用。空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。

类型三

集合的子集

已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

) A．1

B．2

C．3

D．4 例题1

【解析】(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．

由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．

(2)由log2x≤2，得0

由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.

【总结与反思】

1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．

类型四

集合的补集

设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________．

【解析】解：A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅. ∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2. 经检验知m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2.

【总结与反思】 这运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

四

、课堂运用

基础

例题1

1.集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为___________________________________．

2.集合Ayyx4,xN,yN的真子集有________个．

3.若集合A0,1,2,3,B1,2,4，则A2B＝________.

答案与解析

1.【答案】{1,2,3,4}

【解析】{x∈N＋|x－3<2}＝{x∈N＋|x<5}＝{1,2,3,4}．

2.【答案】7

3，4，

【解析】∵Ayyx4,xN,yN=0，2∴A的真子集个数为21=7个. 3.【答案】0,1,2,3,4

巩固

3

x＋y＝31.方程组的解集不可表示为________．

x－y＝－1x＋y＝3x＝1①{(x，y)|}；②{(x，y)|}；③{1,2}；④{(1,2)}．

x－y＝－1y＝2

2.设全集UR，集合Axx6，则ðUA=___________.

3.已知集合Aa,a

答案与解析

1.【答案】③

【解析】方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故③不符合．

2.【答案】x0x6

【解析】∵UR，Axx6，ðUA=x0x6

3.【答案】0,3

2,B1,3，若ABB，则实数a的取值范围是__________.

【解析】

ABB,AB

a122若A，则aa，即0a1；若A，由AB得a3，即1a3. aa2综上，a0,3



2221.已知集合A＝{x|y＝x＋3}，B＝{y|y＝x＋3}，C＝{(x，y)|y＝x＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．

拔高

2.已知全集U，AÜB，则ðUA与ðB的关系是____________________．

U3.设全集UR,Axx5,Bx0x5，求ðUA答案与解析

B和痧UAUB.

1.【答案】同解析

【解析】因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：

集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；

集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，

所以B＝{y|y≥3}．

集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P

是抛物线y＝x2＋3上的点}．

2.【答案】痧UBÜUA

U【解析】画Venn图，观察可知痧UBÜA

3.【答案】

同解析

【解析】

解

因为ABxx5x0x5xx0，所以ðUABxx0，

痧UAxx5,UBxx0或x5，痧UA

五

、课堂小结

UBxx0. 1、正确理解集合的概念

研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．

2、注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．

基础

六

、课后作业

1.若3a3,2a1,a1，求实数a__________.

2.已知集合U=1,3,5,7,9，A=15，，7，则ðUA＝________.

3.设全集U=R，A=xx1,Bxxm.若A答案与解析

1.【答案】-1

2B，ABR，_____.则m_

【解析】a-3=0,则a=0,舍；2a-1=0，则a=-1,符合.

2.【答案】{3,9} 【解析】在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁UA. 3.【答案】1 【解析】依题意，由A综上，m1.

巩固

1.已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.

2.

集合Ax1x5,Bxm1x2m1，且BA，求实数m的取值范围．

3.已知集合Ax4x5,Bxk1x2k1，若AB}知m1，由ABR知m1，

BA，求实数k的取值范围.

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】由－3∈A，

可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，

3∴a＝－1或a＝－. 2则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．

37当a＝－时，a－2＝－，2a2＋5a＝－3，

223∴a＝－. 2

2.【答案】同解析

【解析】

若B，则m12m1，即m2，

m11 若B，则2m15，即2m3，

m12m1综上所述，实数m的取值范围为,3.

3.【答案】同解析

【解析】因为A

拔高

k14或2k15BA，所以B不是A的子集，，即3k5

k12k1

11.

设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A (a≠1)．

1－a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；

(2)集合A不可能是单元素集．

2．已知集合Axx8x150,Bxax10，求所有满足BA的实数a组成的集合M．

23．已知集合A1,3,x，集合B1,x，设全集为U，且B2ðBA，求ðB. UU答案与解析

1.【答案】x0∈N

2k＋1k＋2，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，

44∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，

∴x0∈M时，一定有x0∈N.

2.【答案】同解析

【解析】

M＝{x|x＝【解析】Axx8x1503,5

2当a＝0时，，满足BA，

当a0时

，B，

因为BA，所以 综上，集合M0,,.

3.【答案】同解析

【解析】B

BA

1a11113或5，即a或a

aa351135ðBA，

BðBU,AU，

UUx23或x2x,即x3或x0或x1舍