2.2.1 函数的单调性第二课时教学实录

3.3.1函数的单调性

李大春

【三维目标】

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

【教学重点难点】

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。

教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。

【教

具】多媒体

【教学方法】问题启发式

【教学过程】

一．复习回顾

复习

1：导数的几何意义

复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图像法，定义法）

问题提出：判断y=x的单调性，如何进行？（分别用图像法，定义法完成）

2那么如何判断f(x)sinxx,x0,;的单调性呢？引导学生图像法，定义去尝试发觉有困难，引出课题：板书课题：函数的单调性与导数

二．新知探究

探究任务一：函数单调性与其导数的关系：

问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t6.5t10的图像，图(2）表示高台跳水运动员的速度V(t)h'(t)9.8t6.5h的图像.

2

通过观察图像,

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？此时你能发现h(t)和h'(t)这两个函数图像有什么联系吗?

启发:函数h'(t)在(0,a)上是大于0，函数h(t)在(0,a)上有何特点呢？函数h'(t)在(a，b)上是小于0，那么函数h(t)在(a,b)上有何特点呢？

问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？

问题3：通过对问题1和问题2的观察，你能得到原函数的单调性与其导函数的正负号有何关系？你能得到怎样的结论？（形成初步结论，板书结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．）

问题4：上述结论主要是通过观察得到的，你能结合导数的几何意义为切线的斜率，你能从这个角度给予说明吗？

探究任务二：f'x0与函数单调性的关系：

问题5：若函数fx的导数f'x0，那么fx会是一个什么函数呢？（板书：特别的，如果）

f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常值函数．问题6：平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图像呢？

例1:已知某函数的导函数的下列信息: 当1x4时，f'(x)0;当x4,或x1时，f'(x)0;

当x4,或x1时，f'(x)0.试画出函数fx图像的大致形状.

跟踪练习1、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的

图象如图所示,

则yf(x)的图象最有可能是(

)

问题7：根据我们得到的导数与单调性之间关系的结论，你能否利用此结论来求函数的单调区间呢？

例3：判断下列函数的单调性,并求出单调区间: （1）f(x)sinxx,x0,;（2）f(x)2x33x224x1;

（3）f(x)x33x;（4）f(x)x22x3; （5）f(x)＝x＋ln x

（对于（2）让学生课后探究尝试单调性的定义法和图象法）

问:你对利用导数去研究函数的单调性有什么看法?你能总结出利用导数求单调区间的步骤吗？（简单易行）

（板书“求解函数yf(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数yf(x)的定义域；（2）求导数y'f'(x)；

（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

问题8：导数能帮助我们简洁的求出单调区间，画出大致图象，但我们知道就是递增（递减）也有快与慢的区别，在导数上如何体现呢？下面我们就来看一下下面这个问题

例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：

在导数几何意义那节我们就感受了增加与减少也由快慢之分，那么我们以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：1B,2A,3D,4C

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如右图, 函数yf(x)的图象

，在(0,b)

或(a,0)

内的图象“陡峭”, 在(b,)

或(,a)

内的图象平缓. （跟踪练习）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(

)

三，课堂练习

1．确定下列函数的单调区间

(1)y=ex

(2)y=3x－x3

(3)f(x)3x22lnx

x

四，课堂小结

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,

′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,

则f(x)为减函数. 2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用. 3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂. 五，作业设计

课本98页，A组1，2