习题2.1教学创新设计

《指数函数的图像和性质》教学设计

指数函数的图像和性质

特别地，函数值的分布情况如下

指数函数的图像和性质应用

一、

恒过定点

利用yaa0且a1恒过（0,1）点。令指数部分=0，求出x,即为横坐标，再求出相应的函数值即为纵坐标。

x例1．

函数y＝ax－2 014＋2014(a>0，且a≠1)的图象恒过定点____________ 解析；x-2014=0

x=2014

y=2015

恒过（2014,2015）

二、指数函数的图像特征

例1；图中曲线C1、C2、C3、C4分别是指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 的图像,则a、b、c、d与1之间的大小关系是(

)

A、a＜b＜1＜c＜d

B、a＜b＜1＜d＜c

C、b＜a＜1＜c＜d

D、b＜a＜1＜d＜c

作直线x=1与图像相交，x>0时，底数越大，函数值越大；x＜0时，底数越大，函数值越小。

1

例2：若函数y= ax+

b－1(a>0，且a≠1)的图像经过第二、三、四象限，如图所示，则一定有

A、0＜a＜1且b >0

B、a>1且b >0 C、0＜a＜1且b＜0

D、a>1且b＜0

①函数值后面加减常量，表示图像上下平移，不改变函数的单调区间，故0＜a＜1

②由图像恒过点（0，b），观察图像得b＜0 三、求与指数函数有关的函数的定义域和值域

形如y= af(x) (a>0，且a≠1)的定义域和值域

定义域；就是函数f(x)的定义域。

值域；①先求f(x)的值域，②再由y= ax的单调性可求出

1x1

5x1例1；①y=0.4

②y=

3

③y=

13x2x

④y=22x1

解析；①定义域﹛x︱x≠1﹜，由于t②定义域﹛x︱x≥10,故值域为﹛y︱y >0, y≠1﹜

x11x﹜，由于5x1≥0，y=

3是R增函数，故值域为﹛y︱y

≥1﹜

5112③定义域是R，由于tx2x1,再由y= ()x单调递减，故值域为﹛y︱y

≥﹜

33④定义域是R，因为2x＞0，故值域为﹛y︱y

＞1﹜

例2；设0≤x≤1，求y4x6210的最大值和最小值

x先化为同底；y122x612x10

，再换元

1令t2∴y= t2x1,由于0≤x≤1，所以≤t≤1。

21229

4225，y-6 t+10=（t-3）+1，开口向上，对称轴t=3，故函数y= t-6 t+10在,1单调递减，∴ymaxmin四、与指数函数有关的函数的单调性

1．比较大小

例1；比较下列各题中两个数的大小

①1.71.72.5，，1.73

②

0.8-0.1，，0.8-0.2

③8.51.6，7.61.6

④0.30.93.1

⑤0.60.40.40.6

①

②属于同底不同指；利用指数函数的单调性可解。

③属于同指不同底；利用指数函数在x >0时，底数越大，函数值越大。

2

④属于既不同底也不同指；第一种情况：底数不在同一个范围，而指数都大于0或都小于0，可借助于“1”，一个大于1，而另一个小于1.如1.70.40.3＞1，0＜0.93.1＜1.

⑤也属于既不同底也不同指；但它们的底数在同一个范围，即为第二种情况：以最小的指数为基准，先比较同指的，如本题，可先比较练习：设y1=40.90.6和0.40.4，再比较0.40.4和0.40.6。

-1.5,

y2=80.48,

y3=(错误！未找到引用源。),则(

) A.y3>y1>y2

B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3 思路：化为同底的

2.形如y=

af(x)D.y1>y3>y2

(a>0，且a≠1)的单调性

函数y=

af(x)

(a>0，且a≠1)可以看成是由y= at和

t=f(x)两个基本的函数复合而成

再由〝同增异减〞来确定函数y=

a例1；求下列函数的单调区间

f(x)的单调区间

①

y2x21

②y3t1x11

③y3x22x

④y2x12x1

解析：①函数是由y=

2和t=-x+2复合而成，y=

2在R上单调递增，而t=-x+2在R上单调递减，由同增异减，t所以y2x2111在R上单调递减

②函数是由y和tx1复合而成，y在R上单调递减，33tttt11在-，1和1，+上单调递减，所以，原函数在-，1和1，+上单调递增。③函数由y和x13t1t=-x+2x复合而成，y在R上单调递减，t=-x2+2x在-，1单调递增，在1，+上单调递减，所以原函32数在-，1单调递减，在1，+上单调递增。④函数是由y=

2t和tx12x1复合而成，

当x＜1时，2t=-3x，单调递减，当x＜1时，t= x+2 单调递增，当x≥1时，t=3x，单调递增，从而可得原函数的单调区间。

123.分段函数的单调性

xa,x1是R上减函数，则实数的范围是?例2；若函数f(x)

(23a)x1，x1解析：分段函数在整个定义域是单增（或单减）

①

对应的每一段都要单增（或单减）

②

在分段点，若是增，则右≥左；若是减，则左≥右

3

0＜a＜12323a＜0＜a∴

3423a1a4.其它与指数函数有关的函数单调性

例1；求证f(x)22xx11在（0，+）上是减函数

解析：先将函数化简，再用定义证明

f(x)设

0＜x1＜x2

f(x1)f(x2)(122)(1x1122xx11=2x12x2212)x21122x1

2(2x22x1)(2x11)(2x21)由0＜x1＜x2，知2x22x11,∴2x22x10,2x210,2x110

∴f(x)f(x)0,即f(x)f(x)，∴函数在（0，+∞）上是减函数

1212例2；设a是实数，f(x)a22x1(xR),证明：对任意实数a，f(x)在R上为增函数

5.解指数不等式

例1；①已知②已知3x3则x的取值范围是

x0.50.2＜25,求实数x的取值范围

3x解析：①∵3＞1，y②转换成同底的；例2；如果在R上单调递增，故x≥0.5 2x-25-x＜5,x∈(-2，+∞).或者是 0.2＜0.2

a5x＞ax7(a>0，且a≠1),

求实数x的取值范围

x 解析：由于不知a的取值，故要分类讨论；①当0＜a＜1时，y= a在R上单调递减，∴

77x -5x＜x7,x，

②当a>1时，y=a在R上单调递增，-5x＞x7,x,

66例3；当x∈-2,2时，a＜2(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是

解析：①当0＜a＜1时，y= a在-2,2上单调递减，x xymaxa＜2,a221,∵0＜a＜1

2∴2x ＜a＜1.②当a>1时,

y=a在R上单调递增，2ymaxa＜2,

∵a>1,

∴1＜a＜2

∴22a12，1，2

例4；已知函数f(x)在R上为增函数，且f(-2)= -1，f(1)=3，集合﹛x︳f(x)＜1或f(x)3﹜，关于x的不等式4

12

2x2ax(aR)的解集为B，求使ABB的实数a的取值范围

解析：∵函数f(x)在R上为增函数，且f(-2)= -1，f(1)=3，∴A=﹛x︳x＜-2或x>1﹜，

122x2ax转化为2-2x2ax(aR),得x＜a，∴B=﹛x︳x＜a﹜

∵ABB,∴BA,由数形结合知，a≤-2 五、与指数函数有关的函数奇偶性

11（其中a>0且a≠1）例题1、已知f(x)x，试判定f(x)的奇偶性. a12解析：令ax-1≠0得x≠0,定义域关于原点对称

11ax1ax1ax1

f(x)f(x)xf(x)

xxxa122(a1)2(a1)2(1a)f(x)为奇函数

例题2、设a是实数，函数f(x)a2(xR)

2x1(1)试证明：对于任意的实数a，函数f(x)在R上为增函数

(2)试确定a的值，使函数f(x)为奇函数

解析：（1）证明：任取x1,x2R,且x1

x1x22121222(2x12x2)x1



x1x2x22121(21)(21)由于指数函数y2x在R上是增函数,且x1>x2，

所以2x1<2x2，即2x12x2<0

又由2x>0，得2x11>0，2x21>0 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

（2）解：若f(x)为R上的奇函数

则f（0）=0，即0a2，解得a=1 201经验证a=1时，f（-x）=-f(x)成立

所以当a=1时，函数f(x)为奇函数

5