6.1 函数教学设计及教案分析

课题：《§6.1函数》教案

一、教学目标

1.知道常量、变量的意义及函数的概念. 2.能指出变化过程中的常量、变量；会判断两个变量之间的关系是否可看作函数关系．

3.在探索函数概念的过程中，体会事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想；体会数学的应用价值，感受成功的喜悦，增强学习的兴趣和学好数学的信心. 二、教学重点、难点

教学重点:

知道函数的概念，会判断两个变量之间的关系是否可看作函数关系．

教学难点: 从具体实例中，抽象概括出函数的本质属性；理解函数的概念中的“对应关系”．

三、教学过程

（一）创设问题情境，明确研究方向

同学们，我们的世界每天都在发生着变化，生活中存在着各种各样的变化情况，如太阳的运动轨迹随着时间在变化、弹簧长度随着所挂物体的质量在变化、树根年轮的圈数随着生长年限在变化、每月缴纳的电费随着当月的用电量在变化等等．

生活中许许多多的变化与我们息息相关，了解这些变化的量可以帮助我们更好的认识世界，让我们的生活更加多姿多彩，这节课就让我们一起学习数学中一个量随着另一个量的变化问题. （设计意图：由“变”到“变化的量”实现生活到数学的自然过渡．把学生带进数学课堂,让学生明确研究方向,知道数学来源于生活,应用于生活.）

（二）初步感受变化，引入变量概念

实例1

（图片）

溧阳中美星美影院以25元/张的票价出售电影票，在售票的过程中，涉及到了哪些数量？其中，哪些量没有发生变化？哪些量在不断发生变化？

实例2 （视频）

25日，我国有3列被称为“很有未来感”的CRH380CL型高速动车组投入京沪高铁运营,老师乘坐了北京到常州线上的动车

，动车匀速行驶,时速300千米/小时.在列车行驶的过程中, 涉及到了哪些数量？

追问：在这些量中又有哪些量是没有变化的？哪些量是不断变化的？

根据学生刚才的回答，投影给出：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量. （设计意图：通过“提出问题——寻找其中的量——对量进行分类——归纳概念”，让学生亲身经历概念形成的全过程，感受数学概念形成的自然性与合理性，加深学生对概念的理解．）

（三）感受变化规律，提炼函数模型

感受一: 从表格感受路程随时间的变化而变化

25日，我国有3列被称为“很有未来感”的CRH380CL型高速动车组投入京沪高铁运营,老师乘坐了北京到常州线上的动车

，动车匀速行驶,时速300千米/小时. t ／小时

s ／千米

0.5

1

2

2.5

…

…

（1）在这一变化过程中，有哪几个变量？

（2）在这一变化过程中，两个变量之间的有怎样的关系？

1

[师引导学生分析得出结论：在行驶过程中，路程和时间是两个变量；路程随着时间的变化而变化，对于时间的每个值，路程都有唯一值与它对应.]

感受二：从图像感受温度随时间的变化而变化

再近些,下图是常州溧阳最近一天内某一时段的气温变化图

（1）在这一变化过程中，有哪几个变量？

（2）任意给出这天中的某一时刻t，你能说

出这一时刻的气温T吗？

（3）在这一变化过程中，两个变量之间的有怎样的关系？

图17.1.1

[师引导学生分析得出结论：在这一时段中，气温和时间是两个变量；气温随着时间的变化而变化，对于时间的每个值，气温都有唯一值与它对应.]

感受三：从关系式感受火柴棒根数随小鱼条数变化而变化

更近些，元旦快到了，我们用上述的方法给橱窗装饰小棒搭小鱼.

在这个变化过程中，两个变量是小鱼的条数和火柴棒的根数，请同学们根据图形完成表格.由刚才的填表，你感受到这两个变量之间有什么关系？如果小鱼条数用n表示，火柴棒的根数用s表示，你能找到反映这两个变量的等式吗？

根据关系式已知n求s，即为求代数式的值；已知s求n，即为解一元一次方程. 小鱼的条数 火柴棒的根数

1

2

3

4

5

…

…

n

（1）在这一变化过程中，有哪几个变量？

（2）在这一变化过程中，两个变量之间的有怎样的关系？

[师引导学生分析得出结论：在搭小鱼的过程中， S和n是两个变量, S随着n变化而变化，对于n的每个值， S都有唯一值与它对应.]

（设计意图：由于学生首次接触函数概念．因此在学习中重在让学生感受概念：通过大量的具体实例，由大家到小家，由远及近从三种表达方式让学生充分认识事物的变化过程，并探索在这个过程中两个变量之间的相互关系，提升认识，形成函数概念．）

思考：在上述的三个变化过程，有怎样的共同之处?

（四）界定函数概念，剖析函数表述

1.师生共同提炼函数概念. 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量．

（紧扣关键字词，剖析函数概念．）

2.概念辨析：

（1）说一说：指出下列关系式中的常量与变量

①圆周长c和半径r的关系式为c=2πr ②矩形的长a一定，宽b，面积s= a b （设计意图：通过生活中的实例和概念辨析，使学生对常量和变量有进一步的理解，感受这两者之间的辩证关系.）

（2）辨一辨：

2

①

正方体的棱长为a，正方形的体积v是长a的函数 （ ）

②在一根弹簧的下端悬挂重物，在弹簧的弹性限度内，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm.弹簧原长10cm，重物质量为 mkg,受力后的弹簧长度为lcm. 则l=10+0.5m ，l是m的函数，且l的范围为任何数 . （ ）

（3）仿照范例，自己编一个表示函数关系的实例．

（设计意图：相近的知识对比看，并能用发现的眼光寻找身边的函数，加深学生对函数概念的理解，从而更好地理解概念的本质）

（五）介绍函数历史，促进理解函数

“函数”是一个转译词，在英文中的原单词是function. 最早是由莱布尼兹提出，后来经过约翰•贝努利、欧拉、柯西等许多数学家的改进加工，才逐渐完善发展成今天这样的概念．

“函数”一词，在我国最早是由清代数学家李善兰提出的，“凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”. 这里的“函”有包含的意思．

（六）精心剖析例题，巩固函数概念

例1 用一根1m长的铁丝围成一个长方形. （1）当长方形的宽为0.1m时，长为多少m？

（2）当长方形的宽为0.2m时，长为多少m？

（3）当长方形的宽为

a

m时，长为多少m？

（4）长方形的长y(m)是宽

x

(m)的函数吗？为什么？

变式：用总长为６０ｍ的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S（m2）与一边长a（ｍ

）之间的关系式，

并判断S是否是a的函数. 例2 根据表格中的信息，回答问题：其中，x表示乘公交车的站数（站），y表示相应付的票价（元）. x

y

1 1.0 2 1.0 3 1.0 4 1.0 5 1.2 6 1.2 7 1.5 8 1.5 9 1.5 10 1.8 11 2.0 12 2.0 13 2.5 14 2.5

（1）y是x的函数吗?为什么？（2）x是y的函数吗?为什么？

试一试：在下列表示关于y与x的对应关系的图象中，哪些可以看成y是x的函数？ y

（七）课堂回顾总结，畅谈学习感悟

1.本节课，你学到了什么？有什么收获？

2.请从函数的视角解读公式：成功=天赋×勤奋 o （设计意图：通过三种表达方式让学生再次巩固函数概念，加强对概念理解的深刻性．）

（设计意图：培养学生语言表达能力，并激励学生努力学习，增强学习的兴趣和信心.）

（八）分层布置作业，促进分层提高

必做题：教材第138页练习题前两题；选做题：补充练习及查阅函数的发展历史.

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