2.1.1 函数的概念和图象教案和课堂实录

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第4讲

函数的概念及其表示法

考试要求

1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域(B级要求)；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(B级要求)；3.简单的分段函数及应用(A级要求).

诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.(

) (2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.(

) (3)函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥1}.(

) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(

) 解析

(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.

(3)由于x2＋1≥1，故y＝x2＋1－1≥0，故函数y＝x2＋1－1的值域是{y|y≥0}.

(4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数.

答案

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

2.(2016·江苏卷)函数y＝3－2x－x2的定义域是________. 解析

要使原函数有意义，需满足3－2x－x2≥0，解得－3≤x≤1，故函数的定义域为[－3，1]. 答案

[－3，1] 3.(教材改编)设________. 1，x>0，1，x为有理数，0，x＝0，f(x)＝g(x)＝则0，x为无理数，－1，x<0，f(g(π))的值为

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解析

由题意得g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0. 答案

0 4.(必修1P26练习4改编)下列给出的四个对应中：

①A＝B＝N*，对任意的x∈A，f：x→|x－2|；

1②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的x∈A，f：x→x2；

③A＝B＝R，对任意的x∈A，f：x→3x＋2；

④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y. 其中对应为函数的有________(填序号). 1解析

①中，当x＝2时，|2－2|＝0∉B，此对应不是函数；②中，x＝0时，x2无意义，此对应不是函数；③对应是函数；④中，A是点集而不是数集，故此对应不是函数.

答案

③

5.函数y＝2的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是________. x－1解析

∵x∈(－∞，1)∪[2，5)，

∴x－1∈(－∞，0)∪[1，4).

当x－1∈(－∞，0)时，当x－1∈[1，4)时，2∈(－∞，0)；

x－121∈2，2. x－11答案

(－∞，0)∪2，2

知

识

梳

理

1.函数与映射的概念

两个集合

A，B 对应关系

f：A→B 函数

设A，B是两个非空数集

映射

设A，B是两个非空集合

如果按照某种确定的对应关系f，使如果按某一个确定的对应关对于集合A中的任意一个数x，在集系f，使对于集合A中的任意

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合B中都有唯一确定的数f(x)和它一个元素x，在集合B中都有对应

名称

记法

唯一确定的元素y与之对应

称f：A→B为从集合A到集合B的称f：A→B为从集合A到集一个函数

函数y＝f(x)，x∈A 合B的一个映射

映射：f：A→B

2.函数的定义域、值域

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

考点一

求函数的定义域

【例1】

(1)(2018·南通调研)函数f(x)＝ln x＋x2的定义域为________. x－1f（x＋1）的定义域是x－11(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1，2 019]，则函数g(x)＝____________. x>0，xx－1解析

(1)要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x－1x≥0，1x2的定义域为(1，＋∞).

(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，

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1≤x＋1≤2 019，∴g(x)有意义，应满足

x－1≠0.∴0≤x≤2 018，且x≠1.

因此g(x)的定义域为{x|0≤x≤2 018，且x≠1}.

答案

(1)(1，＋∞)

(2){x|0≤x≤2 018，且x≠1} 规律方法

求函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.

(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域. ln（2x－x2）【训练1】

(1)(2017·苏、锡、常、镇四市二调)函数f(x)＝的定义域x－1为________. (2)若函数f(x)＝2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________. 22x－x>0，ln（2x－x2）解析

(1)要使函数f(x)＝有意义，则解得0

(2)因为函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，则x2＋2ax－a≥0恒成立.因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0. 答案

(1)(0，1)∪(1，2)

(2)[－1，0] 考点二

求函数的解析式

【例2】

求下列各题中的函数f(x)的解析式. (1)(一题多解)已知f(x＋2)＝x＋4x，求f(x)；

2(2)已知f x＋1＝lg x，求f(x)；

1

(3)已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f x＝2x，x∈R且x≠0，求f(x). (4)已知f(x)是二次函数，且满足f (0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x). 解

(1)法一

设t＝x＋2，则x＝t－2，即x＝(t－2)2(t≥2)，

∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，

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∴f(x)＝x2－4(x≥2). 法二

∵f(x＋2)＝(x＋2)2－4，

∴f(x)＝x2－4(x≥2). 222(2)设t＝x＋1，则x＝(t>1)，∴f (t)＝lg ，

t－1t－1即f (x)＝lg 2(x>1). x－11(3)由2f (x)＋f x＝2x

①，

1121将x换成x，则x换成x，得2f x＋f(x)＝x

②，

242①×2－②，得3f (x)＝4x－x，得f (x)＝3x－3x. (4)∵f (x)是二次函数，

∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由f(0)＝1，得c＝1. 由f (x＋1)＝f (x)＋2x，得

a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，

整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，

2a－2＝0，a＝1，由恒等式原理，知⇒

a＋b＝0b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋1. 规律方法

求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

1(3)构造法：已知关于f (x)与f x或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).

(4)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的表达式. 【训练2】

(1)已知f (x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.

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(2)定义在R上的函数f (x)满足f (x＋1)＝2f(x).若当0≤x≤1时，f (x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________. (3)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则f(x)＝__________. 解析

(1)令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得

f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，

所以f(x)＝x2－1(x≥1).

(2)当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，

11由已知f(x)＝f(x＋1)＝－x(x＋1).

22(3)当x∈(－1，1)时，

有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1).①

将x换成－x，则－x换成x，

得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1).②

由①②消去f(－x)得，

21f(x)＝3lg(x＋1)＋3lg(1－x).

1答案

(1)x2－1(x≥1)

(2)－2x(x＋1) 21(3)3lg(x＋1)＋3lg(1－x) 考点三

分段函数(多维探究) 命题角度1

求分段函数的函数值

1＋log2（2－x），x<1，【例3－1】

(1)(2015·全国Ⅱ卷改编)设函数f(x)＝x－1则

2，x≥1，f(－2)＋f(log212)＝________. (2)(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)x＋a，－1≤x<0，＝2其中a∈R. －x，0≤x<1，559－若f ＝f 2，则f(5a)的值是________. 2解析

(1)根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1，

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∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，

因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.

151(2)由题意f －2＝f －2＝－2＋a，

91211f 2＝f 2＝5－2＝10，

113∴－2＋a＝10，则a＝5，

32故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋5＝－5.

2答案

(1)9

(2)－5

命题角度2

求分段函数中的参数

2x＋a，x<1，【例3－2】

(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，－x－2a，x≥1.则a的值为________. 3x－1，x<1，(2)设函数f(x)＝x则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________. 2，x≥1，解析

(1)当a>0时，1－a<1，1＋a>1，

由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，

3解得a＝－2，不合题意；

当a<0时，1－a>1，1＋a<1，

由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，

3解得a＝－4. (2)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.

22当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥3，∴3≤a<1.

当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.

2综上，a≥3.

32答案

(1)－4

(2)3，＋∞



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命题角度3

分段函数与不等式结合

2x＋1，x≥0，【例3－3】

已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取1，x<0，值范围是________. 2x＋1，x≥0，解析

函数f(x)＝的图象如图所示：

1，x<0

21－x>2x，2f(1－x)>f(2x)⇔解得－10，答案

(－1，2－1) 规律方法

(1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.

(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

(3)分段函数与解不等式结合时，可借助函数图象观察求解. x－12－2，x≤1，【训练3】

(2015·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝且f(a)－log2（x＋1），x>1，＝－3，则f(6－a)＝________. 解析

当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，

即2a－1＝－1，不成立，舍去；

当a>1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，

即log2(a＋1)＝3，解得a＝7，

7此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－4. 7答案

－4

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一、必做题

1.(2018·苏、锡、常、镇四市调研)函数f(x)＝1的定义域为________. ln（4x－3）4x－3>0，3解析

由题意得解得x>4且x≠1.

4x－3≠1，3所以函数的定义域为4，1∪(1，＋∞). 3答案

4，1∪(1，＋∞) 2.(2017·扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考)函数f(x)＝lg（5－x2）的定义域是________. 2lg（5－x）≥0，解析

由题意得解得－2≤x≤2.

25－x>0，故函数的定义域为[－2，2]. 答案

[－2，2] 3.(2018·扬州中学质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是________. 解析

使函数f(x)有意义，x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).

答案

(－∞，－3)∪(1，＋∞) 1x（x≤0），14.(2017·盐城中学一模)f(x)＝3则f f 9

＝________. log3x

（x>0），11解析

∵f 9＝log39＝－2，

11－2∴f f 9＝f(－2)＝3＝9. 答案

9 3x－m，x≤2，5.(2017·苏州暑假测试)已知实数m≠0，函数f(x)＝若f(2－m)－x－2m，x>2，＝f(2＋m)，则m的值为________. 解析

当m>0时，2－m<2，2＋m>2，所以3(2－m)－m＝－(2＋m)－2m，所以m＝8；当m<0时，2－m>2，2＋m<2，所以3(2＋m)－m＝－(2－m)－2m，所以

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8m＝－3. 8答案

8或－3

2sin（πx），－1

∵f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，

∴f(a)＝1，当－1

∵0

π2∴πa2＝2⇒a＝－2；

当a≥0时，f(a)＝ea－1＝1⇒a＝1. 2答案

1或－2

x2－4，x>0，7.(2018·苏州期中)设函数f(x)＝若f(a)>f(1)，则实数a的取值范围－x－3，x<0.是________. 解析

由f(1)＝－2，则f(a)>－2.当a>0时，有2a－4>－2，则a>1；当a<0时，－a－3>－2.则a<－1.所以实数a的取值范围是a<－1或a>1. 答案

(－∞，－1)∪(1，＋∞) 1x＋1，x≤0，8.(2018·南京一模)已知函数f(x)＝2则不等式f(x)≥－1的解－（x－1）2，x>0，集是________. 解析

f(x)≥－1，

x≤0，x>0，等价于1或

2－（x－1）≥－1，x＋1≥－12解之得－4≤x≤0或0

即原不等式的解集是[－4，2]. 答案

[－4，2]

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f（x＋1），－2

x2－1，x≥2.3(1)求f －2的值；

(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值. 133111解

(1)由题意，得f －2＝f －2＋1＝f －2

＝f －2＋1＝f 2＝2×2＋1＝2. 3(2)当0

当a≥2时，由f(a)＝a2－1＝4，得a＝5或a＝－5(舍去)，

3综上所述，a＝2或a＝5. 10.(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)的解析式；

1(2)已知函数f(x)满足f(x)＝2f x＋x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式. 解

(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，

2a＝－2，a＝2，a＝4，∴解得或

ab＋b＝3，b＝－3b＝1.故f(x)＝－2x－3或f(x)＝2x＋1. 111(2)由f(x)＝2f x＋x，得f x＝2f(x)＋x，

21则f(x)＝－3x－3x. (3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y，

∴f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1. 二、选做题

11.(2018·淮阴中学期中)从集合A到集合B的映射f：x→x2＋1，若A＝{－2，－1，0，1，2}，则B中至少有________个元素.

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解析

根据映射的定义可得x＝±2→y＝5，x＝±1→y＝2，x＝0→y＝1，所以集合B为{1，2，5}，故集合B中至少有3个元素. 答案

3 x2－x，x>0，12.(2017·镇江期末)函数f(x)＝11若关于x的方程f(x)＝kx－k至－＋x，x≤0.22少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________. 解析

11如图，作出函数图象，y2＝kx－k过定点(1，0)，临界点－2，2和(1，0)连线的11斜率为－3，又临界f′(1)＝1，由图象知实数k的取值范围是－3，1∪(1，＋∞). 1答案

－3，1∪(1，＋∞) 