3.1.2 指数函数优秀教学设计

“指数函数”的教学设计

1.

总体设计反馈

指数函数是学生学习了函数概念、图象与性质之后，学习的第一个新的基本

初等函数，它是一种新的函数模型,也是运用研究函数的一般方法去研究新函数模型的一次实践.指数函数的学习，一方面巩固对函数概念及性质的理解，另一方面也是为后面的对数函数、幂函数、三角函数等高一将接触到的基本初等函数的学习打下基础，确定研究新函数模型的一般方法.

本节课的主要教学内容是，指数函数的概念、图象与性质及其简单的应用。

教学重点是指数函数的概念，图形和性质.本节课主要以学生从实际例子的比较中猜想指数函数的名称，学生通过模仿举例，抽象出指数函数的概念；图象是通过学生的自主探究活动得到，力图使学生掌握指数函数的图象及性质.在教学的过程中，紧紧抓住一条线，如何研究一个新的函数模型，一般研究的顺序是什么？构建研究新函数模型的一般方法，此为本节课教学的一条暗线.一明一暗，紧扣本节课的重点.

教学目标设计：指数函数的概念、图像和性质，以及研究形函数模型的方法

教学重难点设计与突破：

教学重点：指数函数的概念引入和性质

教学难点：指数函数的概念、图象和性质

以一个生活中的问题导入不同的函数模型，引出指数函数的名称，让学生类比举例，归纳得出指数函数的形式。

2.

教学过程剖析

2.1 创设情境

建构概念

师：上节课我们学习了什么知识？(生齐答：分数指数幂) 师：这节课我们将继续学习新的内容.我们知道，数学源自于生活，而必将服务于生活.下面我们来看看生活中的两个例子该如何解决：

引例1

某工厂对上班迟到的员工采取以下处罚措施：八点钟之后迟到的人员按照迟到的顺序，第一位交罚金2元，第二位交罚金4元，第三位交罚金6元，以此类推，第x位迟到的人员所交罚金y与他的迟到顺序x之间的函数关系式为__________________,第20位迟到者应交罚金____元. 生1.y2x

生2.40元. 引例2

由于上述政策实施效果并不明显，因此工厂领导决定修改处罚条款：八点钟之后迟到的人员按照迟到的顺序，第一位交罚金2元，第二位交罚金4元，第三位交罚金8元，以此类推，第x位迟到的人员所交罚金y与他的迟到顺序x之间的函数关系式为_________,第20位迟到者应交罚金____元.（稍停顿.）

生3.y2x. 240元.

师：那你知道第20位迟到者要交多少罚金吗？(学生兴趣盎然)大约是105万元……(学生惊叹) 师：这两个函数是同一类函数吗？函数y2x称为什么函数呢？

生齐答：指数函数. 师：你能解释一下为什么把它称为指数函数？

生4：因为未知数x在指数位置.

设计意图：通过对生活中的两个例子所建构出的数学模型的比较，与学生已有的函数模型产生认知冲突，部分学生通过预习，了解到y2x称为指数函数，此时教师追问，学生用自己的话解释，加深对指数函数模型的印象.

教师对学生的回答给予肯定，并继续引导学生模仿举例.

师：非常棒. (师板书课题)那你能举一个与y2x相似的例子吗？

生：

师：在同学们所举的例子中，有的是指数函数，有的不是，象____________________就是指数函数，那你能从这些指数函数的例子中，概括出指数函数的一般形式吗？

生齐答: yax(师板书)

师：在这些例子例子中，我们来看看在y(a1)x是不是指数函数？对于任意的xR都有意义吗？

生：

师：取x1时，y(2)x对于任意的xR都有意义吗？能验证一下吗？怎么验证？

11生：我觉得可以取值验证.取x，此时y(2)22没有意义，所以2不成立. 师：那y(3)x有意义吗？y(0.7)x呢？

生：都不是指数函数，指数函数的底数a一定要大于0. 师补充概念：指数函数

yaxa0

师：那我们看看例子y1x是指数函数吗？(一部分说是，一部分质疑.) 师：其实y1x实质上就是y1，是我们熟悉的常数函数，在此没有研究的必要，所以我们规定：指数函数中的底数a1. 师补充概念：指数函数

yaxa0且a1.

师：例子中——————————————————————

不是指数函数，其实他们是我们以后将要学习的复合函数，是函数f(x)和g(x)的复合. 师：那y23x是指数函数吗？

生：是

师：不是.看指数函数的一般形式，指数式ax前面的系数是多少？(生齐答) 总结指数函数的一般形式，归纳

师补充板书：指数：x

底数：a0且a1.

系数：1 设计意图：学生通过类比举例，加深对指数函数形式的理解.教师对学生所举的例子进行分类，从是指数函数的例子中抽象概括出一般形式.引导学生分析底数的取值范围，帮助学生认识底数取值的合理性，理解概念的简洁性.指数函数的概念的形成，经历了有特殊到一般，有具体到抽象的过程，更加符合学生的认知规律.通过比较，得到指数函数的形式化定义.

思考：若函数f(x)(a23a3)ax是指数函数，则a_____________ 设计意图：通过对指数函数的概念进行辨析，加深学生对指数函数的形式的理解（三个要求），特别是指数函数的底数a1容易被忽略，加深学生的印象.

2.2

实验探索，归纳性质

（1）

建构研究方法

师：我们已经定义了指数函数，了解了指数函数的解析式，接下来四我们将研究什么呢？你打算如何研究指数函数的性质？一般研究函数的哪些性质?怎样研究这些性质？

设计意图：在初中，学生已经学习过一次、二次函数，在原有的知识结构上，思考研究指数函数的一般内容和方法,从总体上认识研究的目标与手段.紧扣教学内容，通过问题串形式启发式教学. 从具体函数图象处罚，观察函数图象特征，分析函数性质，猜想一般特征.通过观察发现，指数函数底数不同，对应的函数图象也是不同的，引导学生进行归纳，帮助学生运用数形结合思想思考问题.

师：我们定义了新的函数，接下来研究什么？怎么研究？

生：性质.定义域、值域、单调性、奇偶性.通过图象来研究. 师：为了研究指数函数的性质，我们先来画一个最简单的指数函数y2x的图象.知道图象的形状吗？（生：不知道）那如何画图呢？（生：列表、描点、连线）我们选取几个点？（生：三点，五点）我们先选取五点，通过五点作图法，尝试画出函数图象. 留给学生时间，学生独立完成.

11生：选取的点有1,2,2,4,1,,2,,0,1

22师描点，并拿三角板比划，提问：是否在同一直线上？那怎样连接？

生：不在，用平滑的曲线连接. 师：在连接的过程中，提问图象是否穿过x轴，强调函数图象是无限接近于x轴但与x轴永远不相交，x轴称为函数的

(停顿) 渐近线. 1用同样的办法研究函数y的图象，由学生黑板作图. 2师；观察两幅图，形状一样吗？

生：不一样.一个单调递增，一个单调递减. 师；什么时候单调递增？什么时候单调递减？与谁有关？

生：与底数a有关，底数a为整数时候单调递增，底数a为分数时候单调递减. 教师引导学生思考函数y2.5x的图象形状，及对分数的辨析，对所得结论进行修正，得到底数a1时图象单调递增，0a1时图象单调递减. 通过用几何画板演示，论证猜想.

师：观察图象，你能得到哪些信息？

生：定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、定点(0,1)

师：你能解释一下为何过定点吗？

生：因为a01. 设计意图：学生采用由特殊到一般的探究方法研究指数函数图象，归纳性质，体会从具体到抽象，从特殊到一般的思维过程.并在研究的过程中，明确对于未知函数可以通过描点作图法完成图象.

2.3

新知应用

巩固深化

师：学习了指数函数的性质，下面利用性质解决问题. 例1.若指数函数f(x)(a1)x是R上的单调减函数，则a的取值范围是_____.

设计意图：本例题是书本课后习题，通过研究函数单调性，巩固指数函数底数0a1时图象单调递减.巩固新知. 例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1)1.52.5, 1.53.2 (2)0.5-1.2, 0.5-1.5 (3)1.50.3, 0.81.2

设计意图：两种类型的指数式比较大小.一种是底数相同的指数式比较大小，引导学生构造指数函数，通过作图，利用单调性进行比较.对于底数不同的指数式比较大小时候，引导学生发现其底数与指数的区别，在思考如何比较，学生容易想到的是利用图象. x

在学生已经认识到可以通过画图来比较大小，在这个过程中，个别学生在两个坐标系中做出两幅图，然而未能比较出大小关系. 教师展示此种思路，由学生指出不足，要在同一坐标轴系中画出两幅函数图象.通过图象发现其与1的大小关系，今儿得出结论.

xx0.5例3．(1)若33,求实数x的取值范围;(2) 若0.225,求实数x取值范围.

设计意图：通过例2，学生发现两组不等式之间的区别，利用单调性或图象解决.巩固新知，并总结方法：无论是比较大小还是借不等式组，底数相同的利用函数的单调性解决，底数不同的，能化成同底数的就化成同底数，不能的情况下，可以借助中间值1进行比较.

探究：解不等式ax2xa2(a0,a1)

设计意图：分类讨论思想在指数函数一节的应用及为何如此分类.由于时间问题，未能即使处理.

2.4

概括新知

总结方法

师：本节课我们学习了哪些知识？怎样去研究一个新的函数？

设计意图;课堂总结应让学生多方面多层次的反思，是学生获得知识与能力的进步.

3.教学反思：

片段1：我们定义了指数函数，接下来研究什么？怎么研究？(性质.定义域、值域、单调性、奇偶性,通过图象来研究.) 师：为了研究指数函数的性质，我们先来画一个最简单的指数函数y2x的图象.知道图象的形状吗？（生：不知道）那如何画图呢？（生：列表、描点、连线）.(留给学生时间，学生独立完成.) 11生1：选取的点有1,2,2,4,1,,2,,0,1

22教师描点，并拿三角板比划，提问：是否在同一直线上？那怎样连接？

生：不在，用平滑的曲线连接. 教师在描点连线的过程中，提问图象是否穿过x轴，强调函数图象是无限接近于x轴但与x轴永远不相交，x轴称为函数的渐近线.用同样的办法研究函数1由学生黑板作图.教师强调函数图象是无限接近于x轴但与x轴y的图象，2x

永远不相交，x轴称为函数的渐近线. 分析：通过观察图象，教师强调指数函数图象与x轴永远不相交，学生能够理解,此时教师应该继续追问“为什么越来越接近x轴呢？”结论是否正确并不能够仅仅依靠图象，从图形中观察得出的并一定都是正确的，这就需要我们将观察图象与理性论证过程及语言表达能力有效地联系起来，让学生从数的角度认识1到图象与x轴永远不相交.譬如，就函数y来说，引导学生思考如何去验21证？结论是否合理呢？只需分析当x趋近于无穷大时，越来越小，但是永2远不可能等于0，且越来越接近于x轴，学生通过简单的举例，来验证所探究的结论是正确的.可见在日常教学中培养学生用数去验证的求真意识和缜密思维的习惯是必不可少的.

学生在描点的时候选取了点1,2、2,4等，教师用平滑的曲线连接.为了锻炼学生思维的缜密性，教师在连线的过程中，继续追问“为什么要连线？此函数图象能不能是散点图？这两点之间如何连线？”从简单的“想当然”上升到理性的用数去解读的过程，接着借助几何画板演示论证猜想的正确.学生在教师问题的引导下，尝试在此两点之间再多取几个点，点取得越多，图象越精确.正因为[1,2]之间的x值有无穷多，每一个x对应唯一的y值，这些点构成的集合所表示xx的图形就是平滑的线.我们就有理由相信我们探究得到的指数函数的图象是正确的. 数学课堂中利用图象辅助教学是常见的一种教学方法，但是由于图形的局限性，不能完整的表示数的一般性，此时图形的一般性质只能是一种直观而浅显的说明，但他同时也是抽象而严格证明的诱导. 由“形”的直观感受上升到“数”的验证过程，将数形紧密结合，是教师日常教学中，逐渐渗透的一种数学思想。因此，教师要研究课堂，给学生阐述理由、理性思考的机会，引导学生深入思考“为什么”，培养学生的语言表达能力及理性的思考习惯，让学生真正体会

“以数辅形”对探究活动的重要性. 片段2：比较下列各组数中两个值的大小: (1)1.52.5, 1.53.2 (2)0.5-1.2, 0.5-1.5 (3)1.50.3, 0.81.2

此例是利用函数单调性比较指数式大小，考察指数函数性质的应用.笔者通过构造指数函数，利用函数的图象来比较大小，直观简明，对于第三问中底数不同的指数式比较大小容易联想到图象，观察发现1.50.31，0.81.21，所以借助中间值1得到1.50.30.81.2.此题在图形的基础上，能够用简单的语言推理论证比0011.50.81，将不是同底数的指数式较大小的过程，以及中间值选取是由于转化为同底数的来比较大小,在日常的教学中，慢慢培养学生用“数”去解读图形. 数学是严谨的，而图象是直观的.图象上直观反映出的性质是否一定正确，这是需要验证的.而简单的语言论证，目前来说，对于我校学生来说，并不擅长，所以作为教师，要在日常的教学中培养学生的求真意识，加强学生认识数学的严谨性，说话有理有据.