2.1.1 函数的概念和图象教案2

二次函数的值域

一．教学目标

（一）知识目标

1．会利用配方法求二次函数在其定义域上的值域；

2．求二次函数yax2bxc(a0)在[m,n]的值域. （二）能力目标

1．使学生掌握，求在yax2bxc(a0)在（1）(,),(2)[m,n]的值域的方法；

2．培养学生数型结合的能力. （三）德育目标

1．使学生学会全面看问题，观察问题，分析问题和解决问题；

2．使学生认识到事物间是有联系的，能辨证的看待问题. 二．教学重点

怎样求二次函数在不同范围内的值域. 三. 教学难点

1．配方法的掌握

2．数形结合得出二次函数在[m,n]上的值域. 四. 教学方法

观察分析法-----通过师生共同分析讨论，总结归纳，掌握二次函数值域的求法. 五．教学过程

1．课题导入

上节课我们对函数的概念进行了学习，了解了函数的定义域，值域是指什么，例yx1,x{0,1,2,3}.在函数的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值- 1 -

域是由定义域和对应的法则所确定的，因此，值域应注重函数对应法则的作用和定义域对函数的值域的影响，也就是我们常说的函数定义域优先法则.这节课我们重点讨论二次函数对自变量不同取值时的值域问题. 课题：二次函数的值域

复习旧知识（会确定二次函数的对称轴和单调区间）

例一：指出下列函数的对称轴，顶点坐标，定义域，值域. （1）yx22x3

2（2）yx24x3

解：y(x2)21,对称轴x2,顶点（2，1）；定义域：xR;值域y（，1］.

解：y(x1)4,对称轴x1,顶点（1，4）；

定义域：x(,);

值域y[4,).

1 例一（1）图象

例一（2）图象

分析：解决此类问题的关键是熟练掌握配方法，即将yax2bxc(a0)2转化为ya(xh)k的形式.根据a值的符号，确定二次函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，并能根据二次函数的大致图象特征找出函数的值域. 2例2 求函数

yx2x3在下列定义域中的值域：

- 2 -

1(1)x[2,]

（2）x[0,4]

（3）x[2,5]

2

（请同学们思考、讨论并解决）

（1）yx22x3

解：（1）x[2,]，

当x2时，f(-2)=5;1113当x时，f(),

22413y[,5],4例二（2）图象

12

例二（1）图象

（2）x[0,4]

当x0时，f(0)=-3;当x1时，f(1)4,当x4时，f(4)5,y[4,5],（3）x[2,4]

当x2时，f(2)=-3;当x5时，f(5)5,y[3,5],例二（3）图象

请同学们观察所给x的取值范围及函数对称轴的关系，能否总结得出一些规律？

2．总结规律

b24acb2二次函数yaxbxc(a0)的值域的求法（以a>0为例），

ya(x)：

2a4a24acb2,);

（Ⅰ）．若xR,则y[4a（Ⅱ）.若x[m,n]

b,则y[f(n),f(m)];2ab(2)mn,则ymax{f(m),f(n)}max,2a

4acb2y[,ymax];4ab(3)m,则y[fm),f(n)];2a(1)n- 3 -

3.含参问题的处理

例

已知f(x)x23x5，x[t,t1].若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式. 解：如图所示：

3235（Ⅰ）当t1,即t时，

22y函数图象的对称轴为x

oxh(x)f(t1)t25t1;

353时，222329h(t)f()＝; 243（Ⅲ）当t时，h(t)f(t)t23t5. 2（Ⅱ）当tt1时，即t

52t5t1(t)25329(t)

综上所述：h(t)22432t3t5(t)24.小结：二次函数的最值（值域）除了上述方法外，常用方法还有：不等式法、换元法、数形结合法、函数的单调性法、判别法等，同学可在具体问题中去品味和掌握. 5. 作业：

求下列函数的值域

(1)yx24x3(2)y32xx2(3x1)x[3,1]

6．教学反思

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