2.2.1 函数的单调性优秀教学设计

2．2.1

函数的单调性(一)

学习目标

1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性．

知识点一

函数的单调性

思考

画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？

答案

两函数的图象如下：

函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．

梳理

一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：

设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A. (1)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1

(2)如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的单调减区间．

单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

知识点二

函数的单调区间

1思考

我们已经知道f(x)＝x2的单调减区间为(－∞，0]，f(x)＝的单调减区间为(－∞，0)，x这两个单调减区间的书写形式能不能交换？

1答案

f(x)＝x2的单调减区间可以写成(－∞，0)，而f(x)＝的单调减区间(－∞，0)不能写成(－x1∞，0]，因为0不属于f(x)＝的定义域．

x梳理

一般地，有下列常识

(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

(2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

类型一

求单调区间并判断单调性

例1

如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？

解

y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．

反思与感悟

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．

跟踪训练1

写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．

2x－2x－3，x<－1或x>3，解

先画出f(x)＝的图象，如图．

2－x－2x－3，－1≤x≤3

所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞)．

类型二

证明单调性

命题角度1

证明具体函数的单调性

例2

证明f(x)＝x在其定义域上是单调增函数．

证明

f(x)＝x的定义域为[0，＋∞)．

设x1，x2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x1

则f(x1)－f(x2)＝x1－x2

＝x1－x2x1＋x2x1－x2＝. x1＋x2x1＋x2∵0≤x10，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴f(x)＝x在定义域[0，＋∞)上是单调增函数．

反思与感悟

运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1

1跟踪训练2

求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是单调增函数．

x11证明

设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1

x1x2x1x2x1x2－11＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)()．

x1x2x1x2∵1≤x1

∴x1x2－1x1x2－1>0，故(x1－x2)()<0，

x1x2x1x2即f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

1∴f(x)＝x＋在区间[1，＋∞)上是单调增函数．

x

命题角度2

证明抽象函数的单调性

例3

已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是单调增函数．

证明

方法一

设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0. f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

∴函数f(x)在R上是单调增函数．

方法二

设x1>x2，则x1－x2>0，

从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0. f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是单调增函数．

反思与感悟

因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)－f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)－f(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．

跟踪训练3

已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0

证明

∵对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，令m＝1，n＝0，可得f(1)＝f(1)·f(0)，

∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1. 令m＝x＜0，n＝－x＞0，则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，

1又∵－x＞0时，0＜f(－x)＜1，∴f(x)＝＞1. f－x∴对任意实数x，f(x)恒大于0. 设任意x10，

∴0

∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，

∴f(x)在R上是单调减函数．

类型三

单调性的应用

命题角度1

利用单调性求参数范围

3a－1x＋4a，x<1，例4

若函数f(x)＝是定义在R上的单调减函数，则a的取值范围为－ax，x≥1

________．

11答案

[，) 83解析

要使f(x)在R上是单调减函数，需满足：

3a－1<0，－a<0，1＋4a≥－a·1，3a－1·11解得≤a＜. 83

反思与感悟

分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．

跟踪训练4

已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．

答案

(－∞，1]∪[2，＋∞)

解析

由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a，＋∞)，单调减区间为(－∞，a]，而f(x)在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a]，即a≤1或a≥2. 命题角度2

用单调性解不等式

例5

已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是单调减函数，且f(1－a)

解

f(1－a)

－1<1－a<1，－1<2a－1<1，1－a>2a－1，

2解得0

32即所求a的取值范围是0

若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小．

跟踪训练5

在例5中若函数y＝f(x)的定义域为R，且为单调增函数，f(1－a)

解

∵y＝f(x)的定义域为R，且为单调增函数，

2f(1－a)，

32∴所求a的取值范围是(，＋∞)．

3

1．函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是________．

答案

[－2,1] 62．函数y＝的单调减区间是________．

x答案

(－∞，0)，(0，＋∞) 3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是________．(填序号) 1①f(x)＝x2；②f(x)＝；③f(x)＝|x|；④f(x)＝2x＋1. x答案

②

4．给出下列说法：

①若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上为单调增函数；

②若定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上不可能为单调减函数；

x＋1，x≥0，1③函数f(x)＝－在(－∞，0)∪(0，＋∞)上为单调增函数；④函数f(x)＝2在定x－x＋1，x＜0

义域R上为单调增函数．

其中说法正确的是________．(填序号) 答案

②④

解析

由单调增函数的定义，可知①错误；由单调减函数的定义，可知②正确；因为函数f(x)x＋1，x≥0，1＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上为单调增函数，所以③错误；作出函数f(x)＝2x－x＋1，x＜0

的图象，如图所示，由图象可知④正确．

5．若函数f(x)在R上是单调减函数，且f(|x|)>f(1)，则x的取值范围是________．

答案

(－1,1)

1．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都为单调减函数，未必有f(x)在A∪B上为单调减函数．

2．对单调增函数的判断，对任意x1

fx1－fx2(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0或>0.对单调减函数的判断，对任意x1f(x2)，x1－x2fx1－fx2相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0或<0. x1－x2

3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．

4．若f(x)，g(x)都是单调增函数，h(x)是单调减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)为单调增函数，f(x)－h(x)为单调增函数，②－f(x)为单调减函数，③(f(x)≠0)．

fx15．对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较．

fx21为单调减函数fx课时作业

一、填空题

11．函数y＝的单调减区间是________．

x－1答案

(－∞，1)，(1，＋∞) 解析

单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域．

12．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的单调增函数，则满足f(x)＜f()的实数x的取值范围2为________．

1答案

[－1，) 2－1≤x≤1，解析

由题设得1

x＜，21解得－1≤x＜2.

3．已知函数f(x)是R上的单调增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1

答案

(0,3) 解析

由已知f(0)＝－1，f(3)＝1，

∴－1

∵f(x)在R上为单调增函数，

∴0

∴－1

4．已知函数f(x)在R上是单调增函数，则下列说法正确的是________．(填序号) ①y＝－f(x)在R上是单调减函数；

1②y＝在R上是单调减函数；

fx

③y＝[f(x)]2在R上是单调增函数；

④y＝af(x)(a为实数)在R上是单调增函数．

答案

①

解析

设x1

所以－f(x1)>－f(x2)，①一定成立．

其余三个不一定成立，如当f(x)＝x时，②③不成立，当a<0时，④不成立．

5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有f(a)＋f(b)________f(－a)f(－b)．(填＞，＝，＜) 答案

＞

解析

∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a，

∵f(x)在R上是单调增函数，

∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，

∴f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．

2x＋4x，x≥0，6．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是________．

24x－x，x<0，

答案

(－∞，2) 解析

画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上为单调增函数，

故f(4－a)>f(a)⇔4－a>a，解得a<2. －x＋3a，x≥0，7．已知函数f(x)＝2是(－∞，＋∞)上的单调减函数，则实数a的取值范围x－ax＋1，x<0

是________．

1答案

[0，] 3解析

当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是单调减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－1x＋3a是单调减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，

31∴0≤a≤. 38．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的单调增函数，且f(x－2)

3答案

[1，) 2－1≤x－2≤1，解析

由题意，得－1≤1－x≤1，x－2<1－x，

3解得1≤x<，

2

3故满足条件的x的取值范围是1≤x<. 29．函数f(x＋1)＝x2－2x＋1的定义域是[－2,0]，则f(x)的单调减区间是________．

答案

[－1,1] 解析

∵f(x＋1)＝x2－2x＋1＝(x－1)2＝(x＋1－2)2，

∴f(x)＝(x－2)2，x∈[－1,1]，

∴f(x)在定义域[－1,1]上为单调减函数．

10．已知一次函数y＝(k＋1)x＋k在R上是单调增函数，且其图象与x轴的正半轴相交，则k的取值范围是________．

答案

(－1,0) k＋1>0，解析

依题意－k解得－10，k＋1二、解答题

11．求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间．

2－x＋2x＋3，x≥0，2解

∵y＝－x＋2|x|＋3＝

2－x－2x＋3，x<0.

函数图象如图所示：

∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]．

112．已知函数f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝在(0，＋∞)fx上的单调性并给出证明过程．

解

F(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．

证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

fx1－fx211∴F(x2)－F(x1)＝－＝. fx2fx1fx2fx1∵y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，且x1

∴f(x1)0. ∴F(x2)－F(x1)<0，即F(x1)>F(x2)．

∴F(x)在(0，＋∞)上为单调减函数．

x13．已知函数f(x)＝(x≠a)．

x－a(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内为单调增函数；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内为单调减函数，求a的取值范围．

(1)证明

任设x1

2x1－x2x1x2则f(x1)－f(x2)＝－＝. x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，

∴f(x1)

∴f(x)在(－∞，－2)内为单调增函数．

(2)解

任设1

ax2－x1x1x2f(x1)－f(x2)＝－＝. x1－ax2－ax1－ax2－a∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1. 综上所述0

14．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝____________．

答案

(0,1] a解析

由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是单调减函数可得a≤1，由g(x)＝在[1,2]上是单调减x＋1函数可得a>0. ∴01时，f(x)>0. 1(1)求f()的值；

2(2)判断y＝f(x)在(0，＋∞)上的单调性并给出证明；

(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1. 解

(1)对于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

∴当x＝y＝1时，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0. 111当x＝2，y＝时，有f(2×)＝f(2)＋f()，

2221即f(2)＋f()＝0，

2a在区间[1,2]上都是单调减函数，则a的取值范围是x＋1

1又f(2)＝1，∴f()＝－1. 2(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下：

x2设0

x1x2即f(x2)－f(x1)＝f()．

x1x2x2∵>1，∴f()>0，

x1x1即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数．

1(3)由(1)知，f()＝－1，

21∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f() 21＝f((8x－6))＝f(4x－3)，

2∴f(2x)>f(4x－3)，

∵f(x)在定义域(0，＋∞)上为单调增函数，

2x>4x－3，∴

4x－3>0.

33解得解集为{x|

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