4.4 对数概念及其运算教案和学案内容

第四章

幂函数、指数函数和对数函数

4.4 对数的概念及运算(1)

一、

教学目标：

1．理解对数的概念以及指数对数的互逆关系；

2．经历对数的发现历程，体会乘法和除法转化为指数加法、减法运算的转化化归思想；与减法、除法、开方运算的类比，体会类比思想；

3．感受对数引入的必要性，感悟数学家锲而不舍的探究精神以及严谨的科学态度，体验乐于思考和主动探究的精神，并有愉悦的情感体验。

二、教学重点、难点：

教学重点：对数的概念以及指数与对数的互逆关系

教学难点：对数的概念以及指数与对数的互化

三、教学过程

教学

环节

问

题

情

景

问题1：不用计算器计算32128=，16384128= 师

生

活

动

教师：请学生谈谈计算感受

学生：计算量有点大

历史上，科学家也曾遇到相同问题

设计意图

通过一组运算量较大的题使学生结合对数产生的历史背景，体会到现实生活对数学发展的推动作用，激发学生寻找新运算方法的动力。

问题

引入

德国数学家斯蒂菲尔对下列两列数进行了研究：

问题2：请大家想一想，斯蒂菲尔会发

探究现什么规律？

发现

问题3：上述计算方法有什么特点？

变形问题4：把第1问改成132156，还思考

能否用同样的方法解决呢？

归纳总结：

若设第一行数为n的话，那么第二行对应的数则为2，则第一列数的加减运算与第二列数的乘除运算之间存在着对应关系。

从而起到简化运算的作用

学生：可能质疑原来的方法行不通，也可能想到利用非整数的指数幂

教师：是否能用，关键在132和156能否写成2形式，由指数函数的图像与性质知道，存在唯一的对应的x的值，再用相同的方法解出近似值。

xn通过寻找规律，并运用到化简计算的探究过程，使学生初步体会到对数在化简一些复杂计算时的作用。

对算式的变形，激发学生继续思考。通过对数学史上对数表的发明，使学生了解数学家在解决问题的过程中所付出的艰辛努力，培养学生锲而不舍的探究精神和严谨的科学态度

这就给了当时的数学家一个启示，如果制作出了足够多组数的表格，就可以利用它来计算类似问题。

背景：终于在1614年，纳皮尔经过20多年时间的研究编制出这样的表格，连同对数的发现一同发表，不过他选取的底数不是2，而是一个较为复杂的数（正弦）。后来英格兰数学家布里格斯专程拜访纳皮尔，通过讨论认为将底数改为10，从而更符合人们使用的习惯，并又花费了大量时间与精力，于1617年编制了以10位底的表格，供人们计算使用。

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幂函数、指数函数和对数函数

在刚刚的探究中，我们发现简化运算可以2为底，也可以10为底。

问题5 那么对于一般的教师：观察数的运算发展，思考

引入减法若axN,xxNa通过观察数的运算发展规律，类比联想到提出新的概念来解决运算问题，从和指数的互逆关系，培养学生的类比思想

概念aa1,a0，有axN，x如何表形成

示？

引入除法若axN,xxNa而引出对数，并揭示对数引入开方若xaN,xxaN

引入?若axN,x

从而引出对数的概念：

一般的，如果abNa0,a1，那么数b叫做以a为底N的对数，记做：logaNb

abNlogaNb

以10为底的称为常用对数

以e为底的称为自然对数

背景材料：

苏格兰数学家纳皮尔（1550~1617）在没有指数概念的情况下发现了对数，并于1614年在《论述对数的奇迹》中，介绍了他的方法和研究成果。

20多年之后，1637法国数学家笛卡尔（1596－1650 ）发现了指数，但当时的人们并没有发现指数与对数的关系。

直到18世纪的欧拉（1707～1783)将对数的概念完善，并深刻地揭示了指数与对数的密切联系，他曾说“对数源于指数”，并得到了广大数学家的认可。

至此，历经前后两百多年的时间，对数的概念才得以完善，从中我们可以感悟到数学家们锲而不舍的探究精神及科学态度，同时也是一个文化继承、发展的过程。

问题6：对数的定义中为什么要满足学生：思考回答

通过分析对数定义中的底教师：提示指数和对数的互逆关系

数和真数的限制条件，使a0且N0呢？

学生更深刻地理解对数的概念，强化指数和对数的联系

例1 将下列指数式化为对数式：

对数的有关性质

巩固应用

1241623327

35a204(2)b0.45

例2 将下列对数式写成指数式：

1巩固指数式与对数式的互化

通过练习，让学生熟练掌握指数式和对数式的互化

11log512532log1332

3lga1.6994lnb2.3

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巩固应用

通过归纳得到两个常用结论：

例3 求下列对数式的值：

通过观察归纳，让学生熟悉对数恒等式

1log512log31

3log554log33

例4 求下列对数式的值：

loga10,logaa1a0,a1

归纳得到对数恒等式

logaabb

alogaNN

1log4642log19

334log644143log193

例5 计算下列各式中x的值：

1xlog9272xlog3xlog23381

231log3724log3lgx1

5log2lglnx06x9

log2517x31log3524log23103lg328log2x13x22x11

2备用练习

求logx2x23x4中x的取值范围.

求alogablogbclogca的值

课堂小

结

多名学生发言，互相补充。

通过这节课的学习，你有哪些收获？

从知识上：

从思想方法上：

虽然计算器的应用使得对数在简化计算的作用大大降低，但对数的应用已通过介绍对数在科学领域的广泛应用和科学家们对对数的高度评价，使学生了解对数的科学价值和应经遍布各大领域，如测量分贝、测量PH值、计算地震强度、求半衰期等等。

用价值

恩格斯在他的著作《自然辨证法》中，曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发现.

法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（1749 ～1827）曾说：对数可以缩短计算时间,“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.

若学生在课堂讨论中出现反函数的其它性质，可以思考题的形式留给同学们课外探究。

作业

回顾对数发现的历程

思考：如何建立对数的运算

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四、设计意图及教学：

宗旨：让学生对知识的发生过程与探究的方法有一个清晰的认识，从而达到“提升数学素养”的目的．

由于历来学生对指数的掌握的远比对数要好，而教材中一般仅从形式上给出了对数的由来，回避了为什么要先研究对数问题、怎样想到会研究对数问题的，因此作为对数的引入课，将切入点作了调整，将教学重心前移，强化了对数的发现过程．力求将整节课聚焦于问题的提出、对数的发现、指对数间的联系和转化的探讨，强化了学生对对数的发现以及应用的感悟。