2.2.1 函数的单调性教学设计方案

第14课时

函数的单调性（一）

【学习目标】

1．理解增函数．减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；

2．培养学生的判断推理能力和数形结合，辩证思维的能力．

【预学】

1.函数有哪几个要素？

2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？

3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？

4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念．表示方法以及区间的概念，今天我们来研究函数的另一性质（导入课题，板书课题）．

【展学、互学】

21.引例：观察y=x的图象，回答下列问题：

2问题1：函数y=x的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？

随着x的增加，y值在增加．

问题2：怎样用数学语言表示呢？

设x1．x2∈[0，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1

结论：这时，说y1=

x在[0，+上是增函数．（同理分析y轴左侧部分）由此可有：

22.定义：

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2,当x1x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（increasing function）．

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1．x2，当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)．

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．

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说明：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．

（4）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1．x2∈给定区间，且x1＜x2 （取值）；

b.计算f（x1）－f（x2）至最简（作差）；

b.判断上述差的符号（断号）；

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数) ．

【领学】

例1

画出下列函数的图像，并写出单调区间．

(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答) （1）y= - x+2 1(2) y= x

(x0) 【解后反思】要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明．下面举例说明．

3例2

求证：函数f(x)= －x+1在区间(－∞,+ ∞)上是单调减函数．

33证明：设x1，x2∈R且x1

－f(x2)= －x1+1+x2－1 2222=(x2－x1)(x2+x1x2+x1)，因为x2>x1，x2+x1x2+x1>0，

所以f(x1) －f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以f(x)在(－∞,+ ∞)上递减．

1例3

证明函数f（x）＝x

在（0，＋∞）上是减函数. 证明：设任意x1．x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，

x2－x111则f（x1）－f（x2）＝x

－x

＝x x

，

1212由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0，

又x1＜x2

得x2－x1＞0，

∴f（x1）－f（x2）＞0

即f（x1）＞f（x2），

1∴f（x）＝x

在（0，＋∞）上是减函数．

【解后反思】通过观察图象．对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法. 【拓展】函数y21在其定义域(,0)(0,)上是减函数吗？

x答案：该命题不对；例如x11,x21时，

f(x1)1,f(x2)1，显然x1x2且f(x1)f(x2)，所以＂函数y1在其定义域(,0)(0,)上是减函数＂是不成立的．

x【说明】如果一个函数有两个单调区间，两个区间一般不取并集．

例4 (1)若函数f(x)4xmx5m在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数，则2

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实数m的值为 ；

（2）若函数f(x)4x2mx5m在[2,)上是增函数，则实数m的取值范围为 ；

（3）若函数f(x)4x2mx5m的单调递增区间为[2,)，则实数m的值为 ．

解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是x2即m2即8m16；

（２）由题意可以知道m2即m16；

8m2即8（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是x2即m16．

【固学】

1．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数．

证明：设任意x1．x2∈R，且x1

2．求证：f(x)x1在区间(0,1)上是减函数．

x证明：设0x1x21，则x2x10,0x1x21，∴f(x2)f(x1)

(x211)(x1)x2x111)x2x1(x2x1)((x2x1)(x2x1)(x2x1)x1x2

(x1x21)0x1x2即f(x2)f(x1)

故f(x)x1在区间(0,1)上是减函数．

x3．求证函数f(x)=x3+5x在区间（3，4）上单调增．

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证明：任取3

f(x2)-f(x1)= (x23-x13)+(5x2-5x1) =x2x1x1x23x13+x25x

25x1=(x12-x1)(x－15x

23x1325x)，1∵3

∴x13<5x1,x23<5x2，

x13+x23<5x11+5x2,1x，

23x13>5x25x1∴f(x2)>f(x1), f(x)=x3+5x在区间（3，4）上单调增．

【悟学】

1．函数y=|x+1|的单调递减区间为

[－1，+∞)

，单调递减区间

(－∞，－1]

．2．求函数f(x)=x+kx(k>0)在（0，+∞）上的单调性．

解：任取0

f(x2)-f(x1)=x2+x-(xkx1+)=2x1x(x1x2-k) 2x11x2又x2x1xx>0,x12

∴x1x2-k

同理，f(x)在k,上单调递减．

3．讨论函数f(x)x22ax3在(-2,2)内的单调性. 解：∵f(x)x22ax3(x-a)23a2，对称轴xa，

∴若a2,则f(x)x22ax3在(-2,2)内是增函数；

若2a2则f(x)x22ax3在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数，

若a2,则f(x)x22ax3在(-2,2)内是减函数.

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4．讨论函数f(x)解：f(x)ax11(a)在(2,)上的单调性. x22ax1

x2ax2a12ax2

12a1x2设2x1x2，则(x22)(x12)0,x2x10，

∴f(x2)f(x1)

12a12ax22x12(x1x2)(x22)(x12)

(12a)∵(x1x2)0，

(x22)(x12)当a1ax11(a)在(2,)上是单调减时，f(x2)f(x1)，此时函数f(x)2x221ax11(a)在(2,)上是单调增时，f(x2)f(x1)，此时函数f(x)2x22函数；

当a函数．

【拓展题】

已知函数f(x)满足对任意定义域内的m,n,f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且x>0时f(x)>1, 求证：f(x)单调增．

【思路分析】在单调性定义中，若设x1=x,x2=x+h,h>0,有变形定义：

对于h>0,若f(x+h)>f(x),则f(x)单调增；若f(x+h)

证明：对于h>0,f(x+h)=f(x)+[f(h)-1]>f(x),所以f(x)单调增．

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