实习作业教学设计一等奖

课时达标检测（六）

函数的概念

一、选择题

1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是(

) A．f(x)＝|x|

C．f(x)＝x＋1

解析：选C

验证C，f(x)＝x＋1. ∵f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，

∴f(2x)≠2f(x)，即f(x)＝x＋1不满足f(2x)＝2f(x)，故选C. 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是(

) A．f(x)＝x＋1·x－1，

g(x)＝x＋1x－1

B．f(x)＝(2x－5)2，g(x)＝2x－5 1－x1＋xC．f(x)＝2，g(x)＝2

x＋1x＋1x4tD．f(x)＝，g(t)＝()2

xt解析：选D

A中，f(x)＝x＋1·x－1的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝x＋1x－1的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝(2x－5)2的定义域为1－x5xx≥，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝2与2x＋11＋xx4t2＝t(t>0)的定g(x)＝2的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝＝x(x>0)与g(x)＝xx＋1t义域与对应关系都相同，它们相等．

3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(

) B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x

解析：选C

A中的值域不是[0,1]，B中的定义域不是[0,1]，D中的图形不是函数的图象．

4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(

) A．y＝x

1C．y＝x

B．y＝1

xD．y＝x2＋1

1解析：选B

y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1x的值域为[1，＋∞)．

25－，－4，则m的取值范围是5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为4(

) A．(0,4]

3C.2，3

25－，－4

B.43D.2，＋∞

解析：选C

当x＝0，x＝3时，y＝－4，

325当x＝时，y＝－. 243∴m∈2，3，选C. 二、填空题

6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________．

1解析：由题意3a－1>a，得a>. 21答案：2，＋∞

17．设f(x)＝，则f(f(x))＝________. 1－x解析：f(f(x))＝111－1－x＝x－11＝x. 1－x－11－xx－1答案：x(x≠0，且x≠1) x－1的定义域为R，则m的取值范围为________．

mx2＋x＋338．若函数f(x)＝解析：要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．

当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意．

1当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>. 121m>. 故综上可知，m的取值范围是m12

1，＋∞

答案：12三、解答题

9．(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；

(2)已知f(x＋1)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域．

解：(1)∵函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，∴0≤x2＋1≤1，

∴－1≤x2≤0，∴x＝0，

∴f(x2＋1)的定义域为{0}．

(2)∵f(x＋1)的定义域为[0,3]，

∴0≤x≤3，∴1≤x＋1≤2，

∴f(x)的定义域为[1,2]．

10．试求下列函数的定义域与值域：

(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；

(2)f(x)＝(x－1)2＋1；

(3)f(x)＝5x＋4；

x－1(4)f(x)＝x－x＋1. 解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．

(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．

(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝5x＋49＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．

x－1x－1(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，

故函数的定义域是{x|x≥－1}．

设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，

15t－2－. 于是f(t)＝t2－1－t＝245又因为t≥0，故f(t)≥－. 45y≥－. 所以函数的值域是y4

11．已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R. (1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；

(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．

解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；

f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；

f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.

(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：

由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，

∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．

x212．已知函数f(x)＝. 1＋x211的值；

(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 231(2)求证：f(x)＋f x是定值；

11＋…＋f(2 014)＋f 1的值．

(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f 232 014x2解：(1)∵f(x)＝，

1＋x212212∴f(2)＋f ＝＝1，

2＋21＋2121＋2212313f(3)＋f ＝＋＝1. 31＋32121＋321222xx＋11xx1＝(2)证明：f(x)＋f ＋＝＋＝＝1. x1＋x2121＋x2x2＋1x2＋11＋x21(3)由(2)知f(x)＋f x＝1，

11＝1，

∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f 2311＝1. f(4)＋f ＝1，…，f(2 014)＋f 42 01411＋…＋f(2 014)＋f 1＝2 013. ∴f(2)＋f ＋f(3)＋f 232 014