习题1.2教案3

1. 函数的概念

一、教学目标

1．

知识与技能：

（1）会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义；

（2）通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；

（3）理解函数的三要素及函数符号的深刻含义，会求一些简单函数的定义域；

（4）进一步了解区间的概念,体会用区间表示数集的作用；

（5）会求简单函数的定义域，会求一些简单函数的值域。

2、过程与方法：

（1）在对具体实例的分析与比较中培养学生观察、类比、推理、判断的能力；

（2）在对函数概念的提炼中培养学生抽象、归纳、概括的逻辑思维能力；

（3）在对函数概念的讲解中强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

3、情感、态度与价值观：

（1）通过学习函数的概念，培养学生观察问题、提出问题的探究能力，进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力；

（2）启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识．

一、

教学重难点

教学重点：理解函数的相等

教学难点：符号“y＝f(x)”的含义，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成对应关系，甚至认为函数就是函数值

三、教学流程设计

复习——函数相等的定义——练习判断两函数是否为相等函数——求简单函数定义域——求抽象函数值域（由具体到抽象的方法理解求抽象函数的定义域）

四、教学过程

〈一〉复习提问：

1．函数的概念．

2．区间的表示法。

3．函数的定义域的求法．

〈二〉新知探索

思路1．当实数a，b的符号相同，绝对值相等时，实数a＝b；当集合A，B中元素完全相同时，集合A＝B；那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题：函数相等．

x2思路2．我们学习了函数的概念，y＝x与y＝是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容，引出课题：函数相等．

x①指出函数y＝x＋1的构成要素有几部分？

②一个函数的构成要素有几部分？

③分别写出函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的定义域和对应关系，并比较异同. ④函数y＝x＋1和函数y＝t＋1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？

⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？

讨论结果：①函数y＝x＋1的构成要素为：定义域R，对应关系x→x＋1，值域是R. ②一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．其中定义域是函数的灵魂，对应关系是函数的核心．当且仅当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才相同．

③定义域和对应关系分别相同．

④值域相同．

⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相等．因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．

<三>应用举例

例1 求下列函数的定义域

（1）yx21；

（3）y1；

x|x|12

（2）y

x2；

x24（4）yx14x2；

（5）y4x21；

|x|3例2 下列函数中哪个与函数y＝x相等？

x2(1)y＝(x)；(2)y＝x；(3)y＝x；(4)y＝. x2332活动：让学生思考两个函数相等的条件后，引导学生求出各个函数的定义域，化简函数关系式为最简形式．只要它们的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相等．

点评：本题主要考查函数相等的含义．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．对于判断两个函数是否是同一个函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同(即对应关系相同)，则是同一个函数，否则不是同一个函数. 巩固练习

判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由．

①y＝x－1，x∈R与y＝x－1，x∈N；

②y＝x2－4与y＝x－2·x＋2；

11③y＝1＋与u＝1＋；

xx④y＝x2与y＝xx2；

⑤y＝2|x|与y＝2x,x0,是同一个函数的是________．(把是同一个函数的序号填上即可) 2x,x0.<四>课堂练习

P19练习3 <五>课堂小结

这节课重点学习了函数相等的概念,了解了函数的三要素,会求具体函数的定义域。

〈六〉课后作业:1.课本P24:2、5、6； 2.<金版学案>同步内容；

<七> 课后预习：1.课本：P19-23; 五、板书设计

1.2.1 函数的的概念

（2）

练习题

1、

区间的表示

例题

2、函数的定义域

3、两个函数相等的条件

2. 函数的表示法（1）

一、教学目标

1．

知识与技能：

（1）了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式表示函数

（2）提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力

2、过程与方法：

通过示例的分析和求解，明确函数三种不同表示法的优点，从而培养学生恰当选用函数的表示形式表示函数的能力

3、情感、态度与价值观：

在恰当应用不同形式表示函数的过程，感受数与形结合的动态美，体会应用辨证思维的乐趣

二、教学重难点

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，

三、教学流程设计

复 习

四、教学过程

〈一〉复习提问：

列

表

法

图

像

法

解

析

法

对 比

应 用

我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的定义域与及简单的值域，．那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题。初中学过那些函数的表示方法？它们各自有什么特点？ 〈二〉新知探索

1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）

教科书1.2.1节的三个实例分别应用了那种方法?能否用其他方法?你能总结它们的规律吗? 2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数对应法则清楚，可以从自变量的值通过计算求出其对应的函数值；较抽象，很多性质不能直观看出。列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化趋势。）

例1．

某种笔记本的单价是5元，买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元，试用三种表示法表示数yf(x)．

分析：注意本例的设问，此处“yf(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．

解：（略）

注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；

②解析法：必须注明函数的定义域；

③图象法：是否连线；

④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．

例2．

下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成

绩及班级平均分表：

王 伟

张 城

赵 磊

班平均分

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．

分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么

分析？借助什么工具？ 解：（略）

注意：

①

本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：

②本例能否用解析法？为什么？

例3．画出函数y|x|的图象

解：（略）

例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：

（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；

（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），

已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和

终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，

并画出函数的图象．

分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站

才能停车，所以行车里程只能取整数值． 解：（略）

第一次

98 90 68 88.2 第二次

87 76 65 78.3 第三次

91 88 73 85.4 第四次

92 75 72 80.3 第五次

88 86 75 75.7 第六次

95 80 82 82.6

注意：

①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；

②象例3、例4中的函数，称为分段函数．

③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达

式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．

<三> 课堂练习：课本P23

练习第1，2题

<四> 课堂小结

这节课重点复习巩固了函数的三种表示法以及分段函数的定义。

〈五〉课后作业:1.课本P24:7、8、9； 2.<金版学案>同步内容；

<六> 课后预习：1.课本：P22-23; 五、板书设计

1.2.2 函数的表示法

（1）

1．函数的表示法：

2．分段函数的定义：

例题

练习题

3. 函数的表示法（2）

一、教学目标

1．知识与技能：

（1）明确分段函数的定义；

（2）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．

（3）通过实际生活中的例子理解分段函数概念的形成过程．

（4）了解函数与映射的区别；

（5）会求简单抽象函数的定义域，会求一些简单函数的值域。

2．过程与方法：

（1）通过实际生活中的例子理解分段函数概念的形成过程．

（2）在对函数概念的提炼中培养学生抽象、归纳、概括的逻辑思维能力；

（3）在对函数概念的讲解中强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

3．情感、态度与价值观：

（1）让学生感受到学习分段函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。

（2）强化学生的参与意识，体会在探究过程中从特殊到一般，从具体到抽象，相互联系，相互制约，相互转化的

辩证唯物主义观点；

（3）感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美，树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识二、教学重难点

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，

三、教学流程设计

对应关系实例 映射的概念 简单应用

四、教学过程

〈一〉复习：

（1）作出下列函数图像

x ①

f(x) ②

yx2 ③yx21 ④f(x)2x1,x2,1； x

（2）回顾函数的概念

（函数是一种关系，一种结构）

〈二〉新知探索

1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”

弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，

这种对应就叫映射（板书课题）．

2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：

（1）开平方；（2）求正弦；（3）求平方；（4）乘以2．

归纳引出映射概念：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合

B的一个映射．

记作“f：A→B”

说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具

体的对应法则，可以用多种形式表述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．

（3）对于映射：f：A→B，我们通常把集合A中的元素叫做原象，而把集合B与集合A中

元素相对应的元素叫象。所以，集合A叫原象的集合，集合B叫象所在的集合（集合B中可

以有些元素不是象）

（4）映射只要求“对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有位已确定的元素y与

之对应”，即对于A中的每一个原象在B中都有象，至于B中的元素A中是否有原象，

以及有原象时原象是否唯一等问题是不需要考虑的。

（5）映射：f：A→B，其中A、B是两个非空集合；而函数y=f(x)，xA为“非空实数集”，

其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射。由此可知，映射是函数的推广，函

数是特殊的映射。

例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P|P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={P|P是平面直角坐标中的点}，B(x,y)|xR,yR,对应关系f：平面直角坐标



系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x|x是圆},对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x|x是新华中学的班级}，Bx|x是新华中学的学生,对应关系f：每一个班级都

对应班里的学生．

思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；

（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的

映射吗？

例2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，是不是映

射？是不是函数关系？

A 开平方 B A 求正弦 B 

9 4

（1） （2）

A 求平方 B 1 A 乘以2 B 1 4 －1

9 1 2

－2 2

（3） （4）

3 －3 2 －2 300

450

12

22321 2 3 4 例3 A=R,B=R，f : xy<三> 课堂练习：

1,A到B是否能构成对应关系？

x

1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）,已知：

（1）A1,2,3,4,B2,4,6,8，对应法则是“乘以2”；

（2）A=x|x＞0，B=R，对应法则是“求算术平方根”；

（3）Ax|x0,BR，对应法则是“求倒数”；

（4）A|00＜900,Bx|x1,对应法则是“求余弦”．

2、课本P23 T4 <四> 课堂小结

提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有B中的元素与之对应，但B中的元素未必要有A中的元素与之对应；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．

〈五〉课后作业:1.课本P24:10；P25:1，3 2.<金版学案>同步内容；

<六> 课后预习：1.课本：P27-32; 五、板书设计

1.2.2 函数的表示法

（2）

1．映射：

2．集合与映射的区别：

例题

练习题