习题1.2教案设计

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复习课(二)

函数及其基本性质

1．题型多为选择题和填空题，对定义域、值域的考查多与二次函数、指数函数、对数函数相结合，而对解析式的考查多与函数的单调性、奇偶性等相结合命题．

2．若两个函数的定义域和对应关系相同时，则两个函数表示同一函数；函数有三种表示方法：解析法、图象法、列表法．

3x2[典题示例]

(1)函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(

) 1－x1－∞，



A.311－，



C.331，1



B.311－∞，



∪，1



D.33函数的概念

2(2)若fx＋1＝lg x，则f(x)的解析式为________．

1－x＞0，1[解析]

(1)由题意得解得x＜1且x≠. 33x－1≠0，

222(2)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，

xt－1t－1又x＞0，所以t＞1，

2故f(x)的解析式是f(x)＝lg(x＞1)．

x－12[答案]

(1)D

(2)lg(x＞1) x－1[类题通法]

1．简单函数定义域的求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

2．求函数解析式常用的方法

(1)待定系数法；

(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围)；

(3)配凑法．

[题组训练]

4－x21．函数f(x)＝的定义域为(

) 1－log2xA．(0,2]

C．(－2,2)

B．(0,2) D．[－2,2]

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24－x≥0，解析：选B

依题意得1－log2x≠0，x＞0，∴0＜x＜2，故选B.

－2≤x≤2，∴x≠2，x＞0，

12.若f(x)－f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________. 2解析：由1f－2－f2＝－4，22f2－f－2＝8，得

1f－2－f2＝－4.238相加得f(2)＝4，f(2)＝. 238答案：

31f2－f－2＝4，2

3．已知集合A＝{x|x≥4}，g(x)＝值范围是________．

1的定义域为B，若A∩B＝∅，则实数a的取1－x＋a解析：由题可知，g(x)的定义域为{x|x

集合A＝{x|x≥4}，

若使A∩B＝∅，

则需a＋1≤4，解得a≤3. 答案：(－∞，3] 分段函数

1．题型为选择题或填空题，主要考查求函数值、已知函数值求自变量或参数等．

2．所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．

1＋log22－x，x<1，[典题示例]

设函数f(x)＝x－1则f(－2)＋f(log212)＝(

) 2，x≥1，

A．3

C．9

[解析]

∵－2<1，

B．6

D．12 ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝12＝6. 2高考资源网版权所有，侵权必究！

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∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. [答案]

C [类题通法]

解决分段函数求值问题的方法

(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．

(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段函数分段解决．

[题组训练]

1－x，x≥0，1．设f(x)＝x则f(f(－2))＝(

) 2，x＜0，A．－1

1C.

21B.

43D.

2

1－解析：选C

因为－2＜0，所以f(－2)＝22＝＞0，

41所以f (f(－2))＝f 4



＝1－111＝1－＝. 4222x，x≥0，a·2．已知函数f(x)＝－x(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(

) 2，x＜0

1A.

4C．1

解析：选A

由题意得f(－1)＝21B.

2D．2 －(－1)1＝2，f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝. 412x＋1，

x≤0，3．已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．

2－x－1，x＞0，x≤0，x＞0，解析：由题意知1或解得－4≤x≤0或0＜x≤2，故x2－x－1≥－1，x＋1≥－12

的取值范围是[－4,2]．

答案：[－4,2]

函数的性质

1．题型既有选择题、填空题，也有解答题．主要考查判断已知函数的单调性及奇偶性，高考资源网版权所有，侵权必究！

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或利用函数性质求函数的最值、比较两个数的大小及求参数范围．对于比较数的大小，多构造指数、对数函数，同时应注意底数是否大于1. 2．若函数f(x)满足对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有：f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))则f(x)在区间D上是增(减)函数；如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(－f(x))，那么函数f(x)是偶(奇)函数．

mx2＋25[典题示例]

已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. 33x＋n(1)求实数m和n的值；

(2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值．

[解]

(1)∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

mx2＋2mx2＋2mx2＋2∴＝－＝. －3x＋n3x＋n－3x－n比较得n＝－n，n＝0. 4m＋255又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. 363因此，实数m和n的值分别是2和0. 2x2＋22x2(2)由(1)知f(x)＝＝＋. 3x33x任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，

x1x2－11221－则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)

＝(x－x)·x1x2312x1x2. 3∵－2≤x1＜x2≤－1，

∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0，

∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

∴函数f(x)在[－2，－1]上为增函数，

45因此f(x)max＝f(－1)＝－，f(x)min＝f(－2)＝－. 33[类题通法]

函数奇偶性与单调性的差异

函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．

[题组训练]

1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

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A．y＝1＋x2

1C．y＝2x＋x

21B．y＝x＋

xD．y＝x＋ex

解析：选D

A选项定义域为R，由于f(－x)＝1＋－x2＝1＋x2＝f(x)，所以是偶1函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－x＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义11－域为R，由于f(－x)＝2x＋－x＝x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－221－x)＝－x＋ex＝x－x，所以是非奇非偶函数．

e2．已知定义在R上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是________．

解析：依题意得，不等式f(x)＜f(2x－3)等价于x＜2x－3，由此解得x＞3，即满足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范围是(3，＋∞)．

答案：(3，＋∞) 3．已知f(x)＝x(x≠a)．

x－a(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：任设x1＜x2＜－2，则f(x1)－f(x2)＝因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任设1＜x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝＝x1x2－

x1－ax2－a2x1－x2x1x2－＝. x1＋2x2＋2x1＋2x2＋2ax2－x1. x1－ax2－a因为a＞0，x2－x1＞0，

所以要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1]．

函数的图象问题

1．题型为选择题和填空题，涉及的知识面广，形式灵活，主要考查函数图象的选择、图象变换及图象应用等问题．

2．函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；高考资源网版权所有，侵权必究！

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二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、对称变换．

[典题示例]

在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

[解析]

函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函1数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 21[答案]

－

2[类题通法]

作函数图象的方法

方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．

提醒：要利用单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图．

方法二：变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．

左加右减(1)平移：y＝f(x)――――→y＝f(x±h)；

上加下减y＝f(x)――――→y＝f (x) ±

k.(其中h＞0，k＞0) 关于y轴对称

(2)对称：y＝f(x)

y＝f (－x)；

y＝f(x)

关于

x

轴对称

y＝－f (x)；

y＝f(x)

关于原点对称

y＝－f (－x)．

[题组训练]

2x，x＜0，1．函数y＝x的图象大致是(

) 2－1，x≥0

解析：选B

当x＜0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B. ax＋b，x≤0，2．函数f (x)＝的图象如图所示，则a＋b＋c＝(

) 1logcx＋

9

，x＞010A.

3C．3

13B.

39D.

4

1x＋

(x＞0)解析：选B

由图象可得，当x≤0时，f(x)＝2x＋2，由函数f(x)＝logc9 高考资源网版权所有，侵权必究！

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1113的图象过点(0,2)可得c＝，所以a＋b＋c＝2＋2＋＝. 3333．函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．

解析：作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．

答案：(－∞，－1)

(－1，＋∞)

1．函数f(x)＝1＋4－2x的定义域为(

) x＋1B．(－1,2] D．[1，＋∞) A．[－1,2]

C．[2，＋∞)

x＋1＞0，1解析：选B

法一：要使函数f(x)＝＋4－2x有意义，则解得－1x＋14－2x≥0，

＜x≤2，故选B. 法二：因为x≠－1，排除A；取x＝3，则4－2x＝4－6＝－2＜0，所以x≠3，排除C、D，故选B. 2，x＞0，2．若函数f(x)＝2则满足f (a)＝1的实数a的值为(

) x，x≤0，

A．－1

C．－2

B．1 D．2 a≤0，解析：选A

依题意，知满足f(a)＝1的实数a必不超过零，于是有2由此解a＝1，

得a＝－1. 3．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是(

) A．y＝－x＋1

C．y＝－(x－1)2

B．y＝1

1－x－D．y＝31x

－x解析：选B

由题意可知，y＝－x＋1与y＝31在定义域上均为减函数，y＝－(x－1)21在区1－x的对称轴为x＝1，且开口向下，所以在区间(1，＋∞)上是减函数，只有函数y＝间(1，＋∞)上是增函数．故选B. 4．函数f(x)＝x5＋x3＋x的图象(

) A．关于y轴对称

B．关于直线y＝x对称

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C．关于坐标原点对称

D．关于直线y＝－x对称

解析：选C

易知f(x)是R上的奇函数，因此图象关于坐标原点对称．

15．已知f (x)＝x＋x－1，f (a)＝2，则f (－a)＝(

) A．－4

C．－1

1解析：选A

∵f(x)＝x＋x－1，

11∴f(a)＝a＋a－1＝2，∴a＋a＝3，

11a＋a－1＝－3－1＝－4. ∴f(－a)＝－a－a－1＝－6．偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有(

) πA．f(－1)＞f 3



＞f(－π)

πC．f(－π)＞f(－1)＞f 3



πB．f 3



＞f(－1)＞f(－π)

πD．f(－1)＞f(－π)＞f 3



B．－2 D．－3 解析：选A

函数y＝f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)，又函数y＝f(x)ππ



＞f(－π)．

在区间[0,4]上单调递减，所以f(1)＞f 

＞f(π)，则f(－1)＞f 33

7．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．

解析：∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f (2)＝0，且f (x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f (x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3. 答案：(－1,3) 8．不等式x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．

解析：令f(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，

则f(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，

∴当x＝1时f(x)取最小值f(1)＝3. ∵x2＋2x－a>0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，

∴3－a>0，即a<3. 答案：(－∞，3) 2x＋a，x＜1，9．已知实数a≠0，函数f (x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为－x－2a，x≥1.高考资源网版权所有，侵权必究！

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________．

解析：①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a3＝－(1＋a)－2a，解得a＝－(舍去)；

2②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－(1－a)－2a＝2(13＋a)＋a，解得a＝－，符合题意．

43综上所述，a＝－. 43答案：－

44＋x210．设函数f(x)＝. 4－x2(1)求f(x)的定义域，并判断f(x)的奇偶性；

2(2)求证：f x



＝－f(2x)．

解：(1)要使原函数有意义，只需4－x2≠0，即x≠±2，

所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}．

因为f(x)的定义域为{x|x≠±2}，所以定义域关于原点对称．

4＋－x24＋x2又f (－x)＝＝＝f (x)，所以f (x)为偶函数．

4－－x24－x22(2)证明：因为f x＝x2＋1

＝2，

2x－12 4－

x224＋x

4＋2x21＋x2f(2x)＝＝，

4－2x21－x22所以f x＝－f (2x)．

－x＋2x，x＞0，11．已知奇函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x＜0.(1)求实数m的值；

(2)画出函数图象．

解：(1)当x＜0时，－x＞0，

f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，

又因为f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，

所以f(x)＝x2＋2x, 所以m＝2. 高考资源网版权所有，侵权必究！

2

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2－x＋2x，x＞0，(2)由(1)知f(x)＝0，x＝0，x2＋2x，x＜0，函数f(x)的图象如图所示．

12．f(x)＝

x是定义在(－1,1)上的奇函数．

1＋x2(1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；

(2)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0. 解：(1)证明：设x1，x2∈(－1,1)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x11＋x2x1－x21－x1x22－x21＋x1＝22，

1＋x21＋x211＋x211＋x2x1x2＝2－1＋x11＋x22因为－1＜x1＜x2＜1，

所以x1－x2＜0,1－x1x2＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以函数f(x)在(－1,1)上是增函数．

(2)由函数f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数且f(t－1)＋f(t)＜0，得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)，－1＜t－1＜1，又由(1)可知函数f(x)在(－1,1)上是增函数，所以有－1＜－t＜1，t－1＜－t10＜t＜. 等式的解集是t2

1⇒0＜t＜，所以不2

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