小结优质课教案推荐

函数的单调性教学设计

内容和内容解析

1.内容：函数的单调性

内涵是：用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；

外延是：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相反时是单调递减；其几何特征：在自变量取值区间

2.内容解析：函数的单调性即函数的增减性，如果函数y＝f(x)在定义域的某个区间上是增函数或是减函数，就说该函数在这个区间上上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.具有单调性；而这个区间也就称为该函数的单调递增(减)区间。

增函数与减函数定义：对于函数定义域I内某个区间Ｄ上的任意两个自变量的值x1、x2

: ⑴若当x1

时，都有f(x1) < f(x2)，则说函数在这个区间上是增函数；

x1

f(x1) > f(x2)，则说函数在这个区间上是减函数。

x1、x2，当x1

⑵若当

增函数与减函数概念的核心是：对区间Ｄ上的任意两个自变量的值 f(x2)）

3.在中学数学中的地位：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，在教材中起着承上启下的作用。一方面，是初中有关内容的深化、提高，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识；另一方面，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数单调性的理论基础；在解决函数值域与最值、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及。

4.这一节中隐含的思想方法：从函数图象来研究函数性质体现了数形结合思想，从具体的函数单调性的研究得到抽象函数单调性定义体现了从特殊到一般的思想、等价转化的思想，从增函数定义的探究方法得到减函数的定义体现了类比的思想。

5.本节课的重点是：函数单调性的概念及证明

6.本节课是函数单调性的起始课，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念。由于认知水平的局限性和经验的缺乏，因此估计学生在学习本节内容中主要会遇到以下两方面的困难：其一，用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的；其二，单调性的证明是学生在函数内

容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。而学生现有的认知结构中，能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在本节课的教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势，利用多媒体快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，以帮助学生加深对问题的理解和认识。教师应采用启发式讲授，学生采用探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法。利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究，初始阶段应限于这几种函数。由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。

二．目标和目标解析

(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思. (2)理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间

；

(3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性；

(4) 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

(5) 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生

观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学

生的推理论证能力．

(6) 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

三．教学过程设计

[问题1]

如图是一枚炮弹发射后，炮弹距地面的高度h与时间t关系图象，你能说出图象有什么特征吗？[来源:学科网ZXXK]

［设计意图］由现实生活情境引入新课，激发学生学习兴趣。

［师生活动预设］

师：学生说出的图象特点可能有如下多种，教师引导学生主要观察图象的升降特征。

生：观察图象，说出自己的看法(1)图象是抛物线；2)知道最高点3）知道时间，能算出高度h；

4) 从开始到13秒，图象是上升的，从13到26秒(炮弹落地)，图象是下降的。

师：函数图象的升降反映出函数的一个重要性质，这就是我们这节课要研究的课题～函数的单调性。

教师板书本节课题《函数的单调性》

[问题２]

我们在初中学过哪些函数，它们的图象也有升降的变化吗？

［设计意图］让学生温故知新，从已熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数图象特征，初步感受到不同的函数以及同一函数在不同区间上的图象变化的差异。

［师生活动预设］[来源:学|科|网] 师：引导学生从左到右分别看下列三个函数图象的变化，并分别说出它们的升降情况

y＝x，yx，2y1x

2

生：函数y＝x图象上升（全升），yx图象在y轴左侧下降，而在y轴右侧上升y（有升有降），

1x

图象在y轴两侧都是下降。

2yx

[问题３]

函数图象的“上升”与“下降”（从左往右看）说明函数值y和自变量x有什么样的变化关系呢？

[设计意图] 用自然语言描述函数的单调性，为后面引出增函数、减函数的定义作铺垫。

［师生活动预设］

师：让学生完成下列表格（第二行），然后分别观察在区间（－∞，0)及(0 ，+∞)上函数值y随自变量

x值的变化与函数图象“升降”的关系，并回答问题。[来源:Zxxk.Com] x

…

－4

3 1－2 9 －1 4 －0

12 3 4 …

f(x)x

…

6 1 014 9 6 1…

师

师：“在y轴右侧”表示自变量x所在的区间是？

生：（0，+∞) 师：从左到右表示x值的变化是？

生：逐渐增大。

师：图象上升，表示y值的变化是？

生：逐渐增大。

2yx师：“函数的图象在y轴右侧是上升的”这句话说明y与x的变化关系是？

生：在区间(0，+∞)上，随着x的增大，y随着

增大

师：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也随着增大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；

2yx因此，我们可以说函数在区间（0，+∞)上是增函数。

2yx[问题4] 如何用数学符号语言来描述函数在区间（0，＋∞）上是增函数？[来源:学§科§网] ［设计意图］指导学生用数学符号精确表示“在区间(0，+∞)上，随着x的增大，y随着增大”，并从定性分析过渡到定量分析，从直观认识过渡到数学符号表述。

师：我们说某某同学长高了，指的是什么意思？

生：是指他现在比过去高。

师：说得好！有比较才能分大小，我们可以通过两个数的大小来说明增大或减小。

22xxxx在区间(0，+∞)上，能否由1<2，得到1<2的大小？

22xxxxxx121221生：在区间(0，+∞)上，随意取、的值，当<时，验证<。

师：大家的结论如何？

生：表述各自的结论。

22xxxx师：评价学生的结论（都可以由1<2，得到1<2），然后指出：刚才我们所验证的是一些具体的、有限的值，

22xxxxxx121221对于在区间(0，+∞)上任意、的值，当<时，都有<吗？

生：思考如何验证教师提出的问题，并将自己的想法与同学交流

师：上面的结论是正确的。指导学生得出：函数yx在区间（0，+∞)上是增函数，用数22xxxxxx121221学符号语言描述就是：对于区间（0，＋∞）上任意的、，当<时，都有<，2即f(x1)

［问题5] 如何用数学符号语言定义增函数？

设计意图］

从特殊到一般引出增函数的定义．

［师生活动预设］

师：对于一般的函数，我们如何给增函数下一个定义呢？

2

引导学生根据用数学符号语言描述f(x)＝x在区间（0，＋∞）上是增函数的方法，各自说出想法，通过分析、交流、补充、完善后给出增函数的定义并板书。

2yx［问题６]

从的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能得出什么结论？

［设计意图］得出减函数的定义，并由此培养学生的类比能力。[来源:Zxxk.Com] 2yx师：引导学生观察的图象，并思考如何用数学语言描述“函数图象在区间（－∞，0）上是下降的”

生：通过观察、验证、讨论、交流后表达各自的结论。

师生共同得出减函数的定义

［问题７]

你能说出增函数，减函数定义中的关键词吗？

［设计意图］使学生加深对增（减）函数定义的理解。

［师生活动预设］

师：引导学生分析定义中的“区间”、“任意”、“都有”

师生共同分析、讨论，归纳出增（减）函数

概论要点

［概念要点概括］

①单调性是对定义域内某个区间而言的，在某一点上不存在单调性，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

(3)对于闭区间上的连续函数来说，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；

(4) 用定义判断单调性时，自变量的两个值一定要用字母才能表示“任意”。

［问题７]

学生自学课本例１，并解决练习中的第１、２题

［设计意图］巩固概念，培养学生的自学能力，并让学生掌握根据直观图形求出单调区间的的方法。

［师生活动预设］师：指导学生阅读教材中的例１

生：阅读教材中的例１

完成练习中的第１、２题。

［问题８］如何用定义证明增（减）函数？

［设计意图］让学生熟悉用定义证明函数为增（减）函数的步骤和方法，进一步巩固增（减）函数定义，并培养学生的归纳能力。

师：指导指导学生阅读课本例２

生：阅读课本例２，尝试给出证明。

师：分析例２并板书。

［证明函数在某个区间上的单调性步骤］

①设值：在给定区间上任取两个自变量的值②作差变形：作差，x1、x2，且x1

f(x1)f(x2)，通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；

③断号：判断上述差的符号，若不能确定，则可对参数的取值范围或可分区间讨论；

④定论：根据差的符号，得出单调性的结论。

［学生用定义证明增（减）函数常见错误分析及对策］

其一：由于对“任意”理解不透彻，用区间上的两个具体数值代替全的错误；

其二：作差后，变形不彻底。往往“偷用”函数单调性的结论说明两数差的正负。如证x1、x2，犯以偏概111yx在区间（0，＋∞）上是减函数时，在作差得f(x1)－f(x2)＝x1x2后，往往会明

11xxxx2。

直接由0<1<2，得到1解决以上的错误，一是加深对单调性定义的理解；二是教师要强调在用定义证明函数单调性时，判断因式的符号一般不能用已知函数单调性的结论，而是根据同号相乘得正，异号相乘得负；大减小得正，小减大得负；正数之和得正，负数之和得负这些判断正负的规则。

［课堂练习：课本第32页练习第4题

［设计意图］让学生掌握用定义证明增（减）函数的步骤和方法。

［师生活动预设］教师：让一位学生上来板书证明步骤，其他学生自己书写证明过程

学生：评价台上学生的证明。

［９．课堂小结］

(1)从得到增（减）函数定义的过程，你学到了什么？

（概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．）

(2) 证明增（减）函数方法和步骤是？（设值、作差变形、断号、定论）

(3) 若函数有两个同增（或同减）区间的，在表达时应如何处理？

（分开写，不能“并”）