小结教学活动设计方案

§2.3幂函数

-------授课教师：张

丽

一．

教学目标

1．知识目标

（1）通过实例，了解幂函数的概念； （2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2．能力目标

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3．

情感目标

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

二．

教学重难点

重点：幂函数的概念、图象和性质。

难点：幂函数的性质

三．

教学过程

（一）问题引入（多媒体投影）

函数的生活实例

（1）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．

（2）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是：

yx2，yx3 上述问题中涉及的函数，都是形如yx的函数。

（二）、幂函数

1、定义：一般地，函数yx叫作幂函数，其中x是自变量，是常数。

几点说明：①yx中x前面的系数为1；

②以自变量x为底数，指数为常数；

③等号的右边只含x一项。

练习1：判断下列函数是否为幂函数

1（1）yx4

（2）y2

（3）yx2

x（4）yx

（5）y2x2

（6）yx32

练习2：已知函数f(x)(m22m)xm解：由f(x)(m22m)xm2212m1，当m为何值时，f(x)是幂函数。

m1是幂函数，则有m22m1，解得m12

2、幂函数的解析式（待定系数法）

练习:3：已知幂函数yf(x)的图象过点2,2，试求出这个函数的解析式。

解：设所求的幂函数的解析式为yx

因为函数的图象过点2,2

22 即22

1 

2 所求的幂函数的解析式为：yx

3、幂函数与指数函数的对比

式子

指数函数: yax

幂函数: yx x 指数

底数

名称

y 幂值

幂值

1212判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点：

看看未知数x是指数还是底数；如果x是指数则为指数函数，若x为底数，则为幂函数。

（三）函数图象与性质

1. 对于幂函数yx，讨论当＝1，2，3，填表

，－1时的函数图象和性质．

定义域

值 域

奇偶性

单调性

定 点

yx

yx2

2yx3

3yx

1212yx1

1yxyxyxyxyx2. 在同一坐标系中，画出，，，，的图像，并归纳出它们具有的共同性质．

幂函数的图象:

幂函数的性质: （1）函数yx，yx2，

yx3，yx，yx1的图像都过点（1，1）；

（2）函数yx，

yx3，

yx1是奇函数，函数yx2

是偶函数;

（3）在（0，＋∞）上, 函数yx，yx，yx，yx

是增函数，函数yx1是减函数；

（4）在第一象限中，函数yx1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。

2312123、记忆口诀：

一二三限有图象；奇数奇，偶数偶（指数）；

大0增，小0减（第一象限）；图象恒过（1,1）点

（四）例题讲解

例1：利用单调性判断下列各值的大小

23（1） ， （2）1.22，1.42，1.42

350.50.511

练习4、幂函数ym2m1xm的值。

解：因为y(m2m1)xm222m3，当x0,时为减函数，求实数m2m3为幂函数

m2m11，即(m2)(m1)0

m2或m1

当m2时，m22m33

yx3是幂函数，且在(0,)上是减函数；

当m1时，m22m30

yx01(x0)不是减函数。

所以m2。此时yx3

例2、证明幂函数f(x)x在0,上是增函数。

证明:任取x1,x2[0,),且x1x2,则

x1x2(xx)(xx)1212

f(x1)f(x2)x1x2x1x2x1x2

0x1x2,所以x1x20,x1x20,

因为

所以f(x1)f(x2)

.

即幂函数f(x)x在[0,)上的增函数方法总结：

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式. (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则推不出f(x1)f(x2)

（五）课堂小结

1、幂函数的定义 2、幂函数定义的应用 3、幂函数的图象与性质

（六）

作业 同步练习：P49 题组集训 第1、4、8题

五、板书设计

幂函数

一、幂函数的定义 二、图象与性质 三、例题