阅读与思考 集合中元素的个数教学目标

题目

第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算(1) 高考要求 1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义. 2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合. 3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义. 4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质

知识点归纳 定义：一组对象的全体形成一个集合. 特征：确定性、互异性、无序性. 表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}.韦恩图

分类：有限集、无限集. 数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N*、空集φ. 关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝. 运算：交运算A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；

并运算A∪B＝{x|x∈A或x∈B}; 补运算CUA＝{x|xA且x∈U}，U为全集

性质：AA；

φA；

若AB，BC，则AC；

A∩A＝A∪A＝A；

A∩φ＝φ；A∪φ＝A；

A∩B＝AA∪B＝BAB；

A∩CUA＝φ；

A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A；

CU(AB)＝(CUA)∩(CUB). 方法：韦恩示意图, 数轴分析. 注意：①

区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ.

③若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有真子集的个数是2-1, 所有非空真子集的个数是22。

④区分集合中元素的形式：如A{x|yx22x1}；B{y|yx22x1}；nnnC{(x,y)|yx22x1}；D{x|xx22x1}；E{(x,y)|yx22x1,xZ,yZ}；yF{(x,y')|yx22x1}；G{z|yx22x1,z}。

x⑤空集是指不含任何元素的集合。{0}、和{}的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为AB，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。

⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现

点与直线（面）的关系

；符号“Ø,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现

面与直线(面)的关系

。

题型讲解 例1 已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜第1页

共2页

x＞－2｝，求a、b的值. 解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，

且－1≤x1≤0，

①

由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.

②

由①②知x1＝－1，x2＝2，

∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2. 评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.

例2设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.PQ

B.QP

C.P=Q

D.P∩Q=Q

剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，

对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得-1

已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围. 剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质. x2mxy20,解：由得

xy10(0x2),x2+（m－1）x+1=0.

①

∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解. 首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1. 当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内. 综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］. 评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解. 小结：

1.正确理解集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性；

2.用列举法或描述法给出集合，考察元素与集合之间的元素；或不给出集合中的元素，但只给出若干个抽象的集合及某些关系，运用文氏图解决有关问题。

3.熟练运用集合的并、交、补的运算并进行有关集合的运算。

4.注意符号的理解，相互之间的转化：例如ABAABABB等等.

第2页

共2页