阅读与思考 中外历史上的方程求解教学内容

目

录

前言……………………………………………………………………… 3 一、

教材分析

………………………………………………………… 3 二、

学习对象分析

…………………………………………………… 4 1. 教学对象

……………………………………………………… 4 2. 知识基础……………………………………………………… 4 3. 能力基础……………………………………………………… 4 4. 学习风格分析………………………………………………… 5 三、

学习目标

………………………………………………………… 5 1. 知识与技能

…………………………………………………… 5 2. 过程与方法

…………………………………………………… 5 3. 情感、态度与价值观

………………………………………… 5 四、

教学重点与难点

………………………………………………… 5 1. 教学重点

……………………………………………………… 5 2. 教学难点

……………………………………………………… 6 五、

教学支持条件

…………………………………………………… 6 1. 教法选择

……………………………………………………… 6 2. 学法指导

……………………………………………………… 6 3. 教学用具

……………………………………………………… 6 六、

教学流程设计

…………………………………………………… 6 七、

教学详细过程设计

……………………………………………… 6 八、

教学评价

………………………………………………………… 12 九、

教学流程图

……………………………………………………… 13

《方程的根与函数的零点》教学设计

前言

自20世纪90年代以来，国际教育界出现了以信息技术（IT）的广泛应用为特征的发展趋向，国内学者称之为教育信息化现象。我们将教育信息化看作为一个过程，其结果是达到一种新颖的教育形态--信息化教育。随着现代化科学技术越来越广泛的应用，以及实施信息技术教育，将有力地促进教学内容和体系的改革，有力地推动教学方法、教学手段的更新，并将在很大程度上改变传统的教育与教学模式，实现学习主体化、多元化、社会化，这对全面提高教育质量，适应我国21世纪经济社会迅速发展的各类人才有着重要的现实意义。现代教育技术的应用，关键在于教师，教师进一步转变观念、明确认识，在实践中钻研与贯彻，其前提是熟悉并掌握现代教育技术的应用操作能力。这就要求教师学会使用多媒体教学，才能发挥其在教育现代化中的作用。因为应用现代教育技术信息的包容量、增强教学的逻辑思维性、评价教与学的效果，能充分的发挥以学生为主体的个性化教育优势，调动学生学习的积极性，有效地改善学生的学习方式，能更科学的因材施教，提高教育教学质量，为进一步应用现代化教育技术打下良好的基础。

基于上述原因，本人在学习中尝试将《普通高中课程标准实验实验教课书数学I必修本（A版）》第三章的第一课时3.1.1《方程的根与函数的零点》这一内容运用新课改的理念指导教学，制定出信息化教学设计。

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验实验教课书数学I必修本（A版）》第三章的第一课时3.1.1《方程的根与函数的零点》。

本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析判断一元二次方程根的2

存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应函数的情形。这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，渗透着重要的数学思想“由特殊到一般的归纳思想”、“方程与函数”和“数形结合”的思想，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备。

二、学习对象分析

1.教学对象

本课是高一学生步入高中学习的《方程的根与函数的零点》内容，经过第二章的学习，学生已经认识了指数函数、对数函数、幂函数这些初等函数的定义、图像和性质，对一般函数有了初等的了解，也有一定的分析和总结归纳能力。但学生对其他函数的图像和性质认识并不多（比如：三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多的例子，让学生从特殊到一般归纳出方程与函数的内在联系，再加上函数零点存在性的判定方法表示抽象难懂，所以学生学习起来仍有一定难度。

2.知识基础

（1）学生已经学习了函数的图像与性质，现在基本会画简单函数的图像，能够通过图像去研究理解函数性质。

（2）学生初中对一元二次方程、二次函数已经有了初步的学习，对于一元二次方程的根及存在性都比较熟悉，也给学生提供了知识基础。

3.能力基础

（1）学生通过之前函数的学习，对解决一些数学问题有一定的能力，由观察到抽象的数学活动过程已有一定体会，已初步了解了数形结合的思想；

（2）方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础；

3

（3）高一学生基本上能理解特殊与一般、归纳与演绎、理论与实践等的辩证关系，能用全面的、发展的、联系的观点去分析和解决问题。

4.学习风格分析

（1）能够认识到数学的趣味性，想得到老师好评，对学习产生浓厚的兴趣。

（2）现年龄阶段的学生可以通过具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。

（3）学生想要利用网络资源进行学习，去了解更多的新知识，这是我们信息化教学的后盾。

三、学习目标

1.知识与技能

（1）通过对二次函数图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在研究和解决问题过程的一般思维方法。

（2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程的关系，掌握零点存在的判定条件。

（3）结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。

2.过程与方法

（1）通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；

（2）通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

（3）通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

（4）通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。

3.情感、态度与价值观

（1）让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

（2）培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

（3）使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

四、教学重点与难点

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1.教学重点

零点的概念及与方程的关系；零点存在性的判定。

2.教学难点

探究判断函数的零点个数和所在区间的方法。

五、教学支持条件

1．教法选择

以问题为主线，进行“创设情境，组织探究，例练讲解，整理归纳，作业布置，课外延拓”教学；

2．学法指导

学生在老师的引导下，边观察、边思考，推理、归纳，体验知识的形成过程；探究、研讨，达到知识的延展。

3．教学用具

投影仪、多媒体课件（以PowerPoint为平台，结合使用几何画板和Excel软件）。

六、教学流程设计

创设情境，引入课题整理归纳，落实掌握七、教学详细过程设计

第一步，创设情境，引入课题：

【引入】对于一般一元方程f(x)=0，其相应的函数为y=f(x)。

【课件】观察三个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

1.方程x2-2x-3=0与函数y=

x2-2x-3 2.方程x2-2x+1=0与函数y=

x2-2x+1 3.方程x-2x+3=0与函数y=

x-2x+3 22发现问题，组织探究布置作业，课外延拓

例题讲解，分析重点 提问1：

（1）求出以上一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象与x轴交点。

5

（2）观察方程的根与相应的二次函数的图象和x轴交点横坐标的联系。

【推广】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根和相应的二次函数y=ax2+bx+c

(a≠0)的图象关系怎样？

师生互动：

师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念。

生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流。

师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？

【归纳】

１）△>０，方程ax2+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点。

２）△=０，方程ax2+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点。

３）△<０，方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点。

设计意图：引导学生从熟悉的知识中发现新问题、新知识。渗透数形结合的思想，培养学生观察、归纳概括能力和语言表达能力。

第二步，发现问题，组织探究：

【推广】对于一般方程f(x)=0与相应的函数y=f(x)。

(1)若f(x)=0有实数根c,则相应函数y=f(x)图象必经过点(c,0)；

(2)若方程f(x)=0没有实数根,则相应函数y=f(x)图象与x轴没有交点。

【定义】函数零点的概念：

对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

【分析】函数零点的意义：

函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与轴交点的横坐标。

提问2: (1)根据零点的定义,零点本质上是一个点还是一个数?

(2)如何求函数零点? 师生互动：

6

生：函数y=f(x)的零点就是相应方程f(x)=0实数根，本质上是一个实数。

师：引导学生仔细体会上述课件上的文字，感悟其中的思想方法。

生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：

1）代数法；

2）几何法. 【归纳】方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,函数y=f(x)有零点. 【讲述】

函数零点的求法：

求函数y=f(x)的零点：1（代数法）求方程f(x)=0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

设计意图：

指导学生学习概念，要注意新概念的本质。

【课件】零点存在性的探索：

（Ⅰ）观察二次函数f(x)=

x2-2x-3的图象：

提问3: 计算的f(-2) 和

f(1)乘积,你能发现这个积有什么特点?在区间上[2，4]上是否也有这种特点呢? 1 在区间[-2,1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)= _______；

f(-2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2 在区间[2，4]上有零点______；

f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

师生互动：

生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考。

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，7

与函数零点是否存在之间的关系。

【课件】（Ⅱ）观察下面函数y=f(x)的图象

1 在区间[a,b]上______(有/无)零点；

f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2 在区间[b,c]上______(有/无)零点；

f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3 在区间[c,d]上______(有/无)零点；

f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

提问4：

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论（函数满足什么条件时在区间(a,b)内有零点）？

师生互动：

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用。

【结论】定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

【分析】举例说明：

1 .下面两图中对应的函数都满足以下条件：

⑴y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；

⑵f(a)·f(b)<0。

①函数y=f(x)在区间(a,b)内有一个零点.

②函数y=f(x)在区间(a,b)内有多个零点. 8

师生互动：

生：体会由1①、②可得：只要y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线并且f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内必有零点.

【分析】举例说明：

2．反例说明：

①若函数满足f(a)·f(b)<0，但在[a,b]上的图象不连续，可能出现以下情形：

②函数在[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，但不满足f(a)·f(b)<0, 可能出现以下情形：

师生互动：

生：体会由2①、②可得：函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点的判定条件是：⑴y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线；⑵f(a)·f(b)<0.上述两条件缺一不可，否则不一定有零点。

设计意图：

引导学生从特殊到一般。

第三步，例题讲解，分析重点：

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点。

例1．求函数f(x)= lnx+2x-6的零点个数．

提问5：

（1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性

师生互动：

9

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识。

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数。

【课件】

解：用计算机或计算器作出x、

f(x)对应值表：

2 3 4 …

-1.303.386f(x) …

-4 1.0986 …

6 3 画出函数的图象，

x

…

1

从列表和图象可看出，f(2)<0,f(3)>0 即f(2)·f(3)<0,所以函数在（2，3）内有零点。

又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个零点。

设计意图：

通过例题讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。

思考：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)<0 , f(3)>0吗？②*作出函数y=lnx与y=6-2x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方程lnx+2x-6=0的根的关系. 设计意图：

培养学生思维的灵活性和深刻性。

第四步，整理归纳，落实掌握：

【课件】

练习：

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：

（1）-x2+3x+5=0；

（2）2x(x-2)=-3；

（3）x2=4x-4；

（4）5x2+2x=3x2+5．

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2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）f(x)= -x3-3x+5；

（2）f(x)= 2xln(x-2)-3；

（3）f(x)= ex-1+4x-4；

（4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x. 师生互动：

师：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用。

设计意图：

加强巩固本节所学知识；考虑列表，建议画出图象帮助分析。

【讲述】

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出。

【小结】

函数零点的定义；

函数的零点与相应方程的根的等价关系；

函数的零点或相应方程的根的存在性判断定理。

第五步，布置作业，课外延拓：

【作业】

1．教材P108习题3．1（A组）第1、2题；

2．求下列函数的零点：

（1）y=x-5x-4；（2）y= -x+x-+20；（3）y=(x-1)(x-3x+1);（4）222f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)．

3已知f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1：⑴m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

⑵若函数至少有一个零点在原点右侧，求m的值．

【课外延拓】

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研究y=ax2+bx+c，ax2+bx+c=0，ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达。

八、教学评价

1）本节课通过问题1～5评价学生基础知识、基本技能掌握情况以及灵活运用所学知识的综合能力，同时测评出教学效果；

2）在学生探究的过程中，通过师生、生生交流及时了解学生的学习状况，吸收教学的反馈信息，激励学生努力学习；对表现不好的同学给予鼓励并进行跟踪，鼓励学生勇于发表自己的见解，并大胆去尝试，实施赏识教育；

3）让学生上台板演推导方程的根与函数的零点的存在性定理及应用例题1和练习，获得学生推导、应用定理的信息，以便及时调控教学；

4）通过小结中学生的自评、互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。

九、教学流程图

投影

【引入】对于一般一元方程f(x)=0，其相应的函数为y=f(x)。

投影

显示三个具体的一元二次方程的根及相应函数的图像。

投影

提问1：（1）求出以上一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象与x轴交点。

（2）观察方程的根与相应的二次函数的图象和x轴交点横坐标的联系

引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．

独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．

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投影

总结、归纳学生的交流结果，并简单介绍几何画板等软件的使用。

投影

函数的零点的定义及意义。

投影

提问2:(1)根据零点的定义,零点本质上是一个点还是一个数? (2)如何求函数零点?

认真理解函数零点的意义

引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法．

根据函数零点的意义探索其求法：1 代数法；2 几何法．

总结评价给出问题答案

13

讲述函数零点的求法

投影

归纳、

投影

零点存在性探讨：观察函数图像（Ⅰ）

投影

提问3

引导学生结合函数图象，分析函

数在区间端点上的函数值的符分析函数，按提示

号情况，与函数零点是否存在之探索，完成解答，

间的关系．

并认真思考．

投影

观察函数图像（Ⅱ）

投影

提问4

引导学生理解函数零点存在定结合函数图象，思考、

理，分析其中各条件的作用．

讨论、总结归纳得出函

数零点存在的条件

总结、交流并评析

上述问题

14

投影

【得出结论】即：函数零点与方程的根之间的关系定理

投影

【分析】举例说明1

投影

【分析】举例说明2：反例说明

学生体会1中函数图像

学生体会2中函数图像

投影

例1

提问5

投影

引导学生探索判断函数零点的方

法，指出可以借助计算机或计算器

来画函数的图象，结合图象对函数

有一个零点形成直观的认识．

投影

投影

几何画板

在老师的指导下试着学习利用几何画板画图象

例1的解

思考：①②

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学生讨论

投影

通过练习巩固本

节课所学内容

结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结

合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识积极回答问题

到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在

确定函数零点中的重要作用．

1．请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及

到的主要数学思想又有哪些；

2．在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地

方，请向老师提出。

投影

小结、作业、课

外延拓

总结评价

结

束

符号说明：

教学内容与教师活动：

学生活动：

媒体运用：

学生利用媒体操作、学习：

教师进行评价判断：

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