习题3.1教案1

函数的零点

河北省卢龙县中学

严红侠

一、指导思想与理论依据

1. 新课程标准理念——高中数学新课程标准指出：

“强调本质，注意适度形式化。高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。在“函数的零点”的教学中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。

2. 建构主义理论——建构主义认为：知识不是通过教师讲授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过意义建构而获得。由于学习是在一定的情境下借助其他人的帮助即通过人际间的协作活动而实现的意义建构过程，因此建构主义学习理论认为“情境创设”、“协作学习”、“会话交流”是学习环境的基本要素。

二、教学背景分析

1. 教材分析

函数是数学一个重要的部分，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。函数的零点，就是借助数形结合，科学合理地把代数问题几何化。

作为高考考查的重点，又是学好其它相关章节的桥梁和工具，函数的一轮复习教学必须深入而有效．传统的一轮复习教学注重知识点的分类复习、题型和方法的分类复习，能促使学生构建知识体系，优化解题思路，但是在复习的精准度、细致度、深刻度等方面尚存在一定的问题，比如“函数与导数”“解析几何”等内容，有知识点多、复习时间长的特点，学生往往会陷入机械记忆模式，对很多问题仍然是一知半解．如能在传统专题形式的基础上对重点考查的内容穿插微专题，则可以起到“见微知著”，促进学生深度学习的目的，同时也能激发学生的学习热情．

2. 学情分析

（1）从考查要求来看：不仅有基本知识、基本方法、基本技能的考查，更有数学思想、数学本质的考查．

（2）从考查题型和难度来看：新课标卷在函数方面占27分，题目基本稳定在“三小一大”的格局上，其中小题平均难度适中，解答题难度很大，比较稳定的采用导数压轴．

1

（3）从考查内容来看：小题考点可总结为七类：一是分段函数，二是函数的性质，三是基本函数，四是函数图象，五是方程的根（函数的零点），六是函数的最值，七是函数与导数．解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题，有一定的难度．常见的考点可分为六个方面，一变量的取值范围问题，二证明不等式的问题，三方程的根（函数的零点）问题，四函数的最值与极值问题，五导数的几何意义问题，六恒成立与存在性问题．

（4）从考查思维和能力来看：既考查学生分析问题和解决问题的能力，又考查运算能力和数据处理能力．

（5）从考查的数学思想方法来看：分类讨论思想、函数与方程思想、等价转化思想、数形结合思想、整体代换思想、极端化思想、建模思想

如：分段函数问题、判断含有参数的函数的单调性、最值等问题常与分类讨论思想相结合，有关函数与方程的相关问题常涉及函数与方程思想和等价转化思想，研究函数的图象问题和基本函数的性质时常利用数形结合思想等．

3、命题趋向分析

（1）题量稳定，题型不变，小题平均难度适中，解答题难度很大，导数压轴；

（2）函数的性质、函数的图象、分段函数、函数与方程、函数与导数依然是考查的重点；

（3）可能会有与其它章节交汇知识点的考查，如：函数与三角函数、函数与不等式、函数与数列、函数与解析几何等交叉渗透的综合性问题；

（4）压轴题为函数与导数，主要考查利用导数处理函数、方程和不等式等问题，同时考查推理论证能力、数据处理能力、转化与化归思想以及分类讨论思想．

三

、教学重难点

1、零点定义及存在定理 2、零点的应用

四、教学过程设计

1.函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，把使

的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．

问题1 请举例说明什么是函数的零点？

2.函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是

的一条曲线，并且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

问题2 请举例说明零点存在定理的应用？

设计意图：进一步复习零点定义及零点存在定理，注重基础。

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考点一

判定函数零点区间

21[例1]

函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是(

) xx－1A．(1,2)

B．(2,3)

C．(3,4)

D．(1,2)与(2,3)

变式1：设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间(

) A．(－1,0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(2,3) 变式2．用二分法求f(x)＝2x＋3x－7的零点的近似解，若第一次零点区间为(1,2)，则第二次的零点区间为________．

问题3：

本例是用什么方法来判断函数零点所在区间

[例2]：已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－1的零点依次为a，b，c，则(

) xA．a＜b＜c

B．c＜b＜a

C．c＜a＜b

D．b＜a＜c

1变式1：函数y＝ln(x＋1)与y＝的图象交点的横坐标所在区间为(

) xA．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 问题4：本例是用什么方法来判断函数零点所在区间？应用了什么数学思想？

设计意图：总结判断函数零点所在区间的方法：零点存在定理法，图像法

考点二

函数的零点个数

x＋1，x≤0，[例3]

(1) )已知函数f(x)＝则

f(x)的零点个数是(

) log2x，x>0，

A．4

B．3

C．2 D．1 x＋1，x≤0，变式1：将本例(1)改为已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的零点的个log2x，x>0，

数是(

)

A．4

B．3

C．2

D．1 kx＋1，x≤0，变式2：将本例(1)改为已知函数f(x)＝下列是关于函数y＝f[f(x)]＋1的logx，x>0.2

零点个数的四个判断：①当k>0时，有3个零点；②当k<0时，有2个零点；③当k>0时，有4个零点；④当k<0时，有1个零点．则正确的是(

) A．①④

B．②③

C．①②

D．③④

问题5：本例是用什么方法来判断函数零点的个数？应用了什么数学思想？

3

1x[例4]

已知函数f(x)＝2－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 变式1：将本例改为求函数f(x)＝2x－cos x在(－π，0) 上的零点个数为（

）．

A．1

B．2

C．3

D．4 问题6：本例是用什么方法来判断函数零点的个数？应用了什么数学思想？

设计意图：总结函数零点个数的判断方法：直接法，图像法，转化法

考点三

函数零点的应用

|2－1|，x＜2，

[例5]

已知函数f(x)＝3若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数，x≥2，x－1a的取值范围为(

)

A．(1,3)

B．(0,3)

C．(0,2)

D．(0,1) 1

变式1：函数f(x)＝x2－ax＋1在区间2，3上有零点，则实数a的取值范围是(

) 5102，

D.2，

A．(2，＋∞)

B．[2，＋∞)

C.32x

问题7：通过本例如何求参数的取值范围? 应用了什么数学思想？

设计意图：已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系。

问题8：通过复习，你收获了哪些学数学的方法，体会了哪些学数学的思想，记起了哪些尘封的回忆？

教学反思：．在新课标中，函数的零点是函数中的重要内容，也是高考考查的热点．它是函数、方程、不等式的一个知识交汇点，也是初等数学与高等数学的一个衔接点，蕴含着丰富的数学思想．从近几年各省的高考真题来看，零点问题不仅呈现于客观题中，考查学生对零点问题的基础知识与基本技能的理解与掌握，而且渗透于主观题中，与其它知识交汇对接，考查学生的综合思维能力．小题中的零点问题多用数形结合的思想求解，解答题中的零点问题多用导数法求解．特别是，新课标卷近两年在压轴题中都考查了导数法解决零点问题，而且有一定的

难度．这一发现促使我开始从这两种思路去研究零点问题。

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