习题2.3教案及板书设计

高三一轮复习§2.4幂函数的应用

教材版本：人教A版数学必修一

成都市成飞中学：王东

教学目标

知识与技能：

（1）理解幂函数的概念；

（2）通过具体实例对幂函数的图像和性质的研究，理解、掌握幂函数的图象与性质，并 掌握研究幂函数的一般方法；

过程与方法：

类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，研幂函数的图象和性质.渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；

情感态度价值观：

（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；

（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.

（3）培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程. 重点、难点

重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质，并通过研究幂函数图像进一步掌握研究函数图像的基本方法。

难点：从幂函数的图象中概括幂函数的共性

课前准备

阅读教材人教A版必修一P77-78页内容并尝试解决P79页问题及步步高P19-20页知识梳理中幂函数有关问题. 教学过程

教学内容

师生活动

设计意图

1高考大纲对幂函数的要求

（1）了解幂函数的概念. 学生阅读考纲要求

让学生知道幂函

数在高考当中的要求及考试难度

1（2）结合函数yx，yx，yx，yx，y的

2312系数。

知晓本节课任务

让学生能够准确区分幂函数与指数函数

对幂函数定义的深刻理解

让学生通过基本练习进一步巩固研究函数基本性质的方法

培养学生数形结合能力及归纳概括能力

x图像，了解它们的变化情况. 难度较低，属易得分题

请学生描述幂函数定义并说出与指数2本节课教学目标

（1）了解幂函数概念及基本性质

（2）通过对幂函数图像的研究掌握研究函数图像的基本方法。

3定义的给出

形如的函数称为幂函数

函数的异同点，老师板书概念

思考：1.我们学过的函数中哪些是幂函数？

2.是否是幂函数? 学生回答

展示学生填图情3如何判定一个函数否是幂函数，它具备什么特点？

4.研究幂函数基本性质

况，并请学生指出将上述幂函数画在同一直角坐标系中，概括是否有问题

其特点

yx2

yx3yx2yx2yx1

让学生归纳幂函数特点，对于没有归纳出的地方予以补充

yx1yxyx2yx1yx1yx3归纳（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11）

x

（2）a＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，

+∞）上是增函数.有三种递增模式，a>1，图像递增

幅度较大，a=1，直线

a<1，图像递增幅度较慢。

（3）a＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上

是减函数.

在第一家限内，当x向原点靠近时，图象在y轴

的右方无限逼近y轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴.

（4）图像在一象限点（1,1）右边图像越靠上a越大，（1,1）左边相反

（5）其余象限图像可根据函数奇偶性得出

小试牛刀



yx1.如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的1图象.已知分别取1,1,2四 2

个值，则相应图象依次为：

2.利用上述幂函数性质画出

yx、yx、yx、yx图像

想要准确画出幂函数图像，要注意哪些方面？

42332

展示学生作图结果

为进一步掌握幂函数性质做准备

强调幂函数关注点

定义域，奇偶性，单调性（由a的大小决定），这些性质也是我们研究一般初等函数的常用方法

让学生知晓幂函数可能出现的题型并总结应对策略

幂函数定义的再一次巩固

5.备战高考

高频考点

考点一：幂函数的概念

考点二：比较大小

考点三：幂函数的图像

考点一：幂函数的概念

例1已知函数f(x)(mm1)x212m是幂函数，且在

(0,)上是增函数，则实数m为（ ）

A 2 B -1 C -1或2 D变式探究

1

2当x(0,)时，幂函数y(mm1)x数，则实数m的值为（）

A.m=2 B.m=-1 C.m=-1或2 D。m答案 A 考点二：比较大小

25m3为减函

学生作答，对学生考虑周全的地方予15

2以表扬

例2．利用函数的性质

，判断下列两个值的大小

（1）3.5,3.51323231323

（2）3.5,5.325232323（3）

学生口述方法，教3.5,3.5,5.3

（4）4.1,3.8,(1.9)

点评：1，当底数是同一个正数时，用指数型模型比较大小

2，当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较大小

3，当底数和指数都不同时，常常借助中间量0或1比较大小

35

变式探究2 师板书

让学生能够准确判断两数比大小何时用幂函数何时用指数函数何时用中间量

数形结合训练，提升学生数形结合

知识回顾，让学生对本届内容有整体认识

设a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6，则a,b,c的大小关系

是

A.abc

B.acb

C.bac

D.bca

考点三：幂函数的图像

学生板书两函数的1例3点(2,2)在幂函数f(x)的图像上，点(2,)在4图像，并强调图像幂函数g(x)图像上，当x为何值时有

（1）f(x)>g(x)

（2）f(x)=g(x)

（3）f(x)

变式探究3 的规范性

1若点(2,2)在幂函数f(x)的图像上，点(2,)在幂学生作答，教师补4充

f(x),f(x)g(x)函数g(x)图像上，定义h(x)试求g(x),f(x)g(x)函数h(x)的最大值及单调区间

课堂小结：

1，幂函数yxa的性质和图像，由于a的取值不同而比较复杂，因此，重点要求掌握yx,yx2,yx3

1y,yx2这五种幂函数的图像和性质。

x12，幂函数yxa（a为常数）的定义域是使解析式有意义的自变量x的取值范围，当a为分数指数幂时，常常将其改写成根式形式，再根据根式得出其定义域。

对幂函数的研究，关键是掌握第一象限的图像跟性

质，在此基础上，进而通过定义域的研究确定y轴左侧是不是有图像，通过对奇偶性的研究，确定在y轴左侧的图像跟性质。

课后作业：

1.步步高P277页

2.预习步步高2.4章节二次函数内容

课后自我反思：

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数，对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学习指数函数，对数函数的图像和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图像和性质的研究便水到渠成。

由于幂函数的图像图像较为复杂，所以通过研究我们所熟悉的五种幂函数图像来归纳幂函数的一般性质，体现了数学学习当中从特殊到一般的思想及数形结合在研究函数时的重要性。

由于幂函数与指数函数结构相似，在比较大小时不知如何选择正确模型，因此在例题选择上也注重体现两者的区别。

在教学过程当中，以学生自主探究为主，教师点评为辅的教学方式，让学生能够尽量体现课堂的主体性，主动性，让学生体验数学发现、创造的历程。

不足之处：对于课堂提问的提问方式以及提问语言的精准还需要进一步提高。在调动学生学习积极性及如何引导学生更有效的自主探究方面还需要进一步的研究学习，让学生能够真正的轻松学习数学。

课后点评：

（一）本节课亮点：

1.本节微型课充分体现了“以人为本”和“以学为本”。教是为了不教，学是为了不学。

朱老师虽然是一名年轻教师，但具有一定的教学前沿理念。本节课，以团队学习、互动对话、共同探究等为特征的教学方式贯穿始终,有利于提高学生整体的学习能力。由于幂函数的图像较为复杂，但朱老师能够通过学生小组探究、教师精准指导等，引导学生从所熟悉的五种幂函数图像归纳出幂函数的一般性质，这种“以学为本”的处理方式，体现了朱老师日常教学中“以人为本”的教学理念。

2.本节课充分体现了学习型课堂“以学定教、以学促教”的特点。朱老师本节课的一切教学行为都是本着“一切有利于学生的学，一切为了学生的学，一切促进学生的学”展开。整堂课，增加了学生的说和做，减少了老师的说和讲而且，在精讲过程中，朱老师善于诱导，巧于引导，妙于疏导，精于指导，为学生的可持续发展奠定基础。

3.本节课，朱老师充分尊重学生差异。提问的同学面积较大，各层学生都有涉及，而且都能够让学生充分表达。在问题探究中，目标让学生清楚，疑问让学生讨论，过程让学生经历，结论让学生得出，方法让学生总结，充分营造一种“学习型”课堂，避免了“眼中有书，目中无人”、“一枝独秀、自娱自乐”等教育现象，让每一个学生真正成为学习的主人。

（二）值得探讨的几个问题：

1.本节课的引入较好，让学生阅读考纲，让学生明白本节内容的考纲和大纲要求，但老师还应该在接下来的例题讲解中渗透和解读考纲要求，让学生进一步体会这部分内容在高考中是如何体现的。

2.例题的讲解以及对学生的点评时，语言还要再精炼，尽量避免空洞的表扬，要点评出学生好在哪些地方，不好在哪些地方。例如学生在探究分数指数幂时，不能一句话“没有注意到自变量的范围”，其实就是学生的定义域意识不强，应该引导学生将分数指数幂化为根式，定义域就很好求，所以，在数学课堂上尽量用数学语言。

3.本节课涉及到的图像较多，可以在多媒体方面再优化，如果能够在未来课堂的模式下，使用云策略进行教学，效果会更好。

（点评人：成飞中学 王东）