习题2.3第二课时教学设计

幂函数

知识梳理

11 函数y=x、y=x2、y=x的表达式有着共同的特征：幂的_____________是自变量，指数是______________. 2一般地，形如__________________的函数称为幂函数，其中为常数。

3.、幂函数的性质：

（1）_______________________________________________ （2）_______________________________________________ （3）_______________________________________________ 重点难点聚焦

1.幂函数的概念及五类幂函数的应用. 2.幂函数的图象及性质. 再现型题组

1．

在函数中,y=1x,y=22x2,y=x+x,y=1哪几个函数是幂函数？

22．

幂函数的图象过点（3，3），则它的单调增区间是（ ）

A. [1，+ ∞) B. [0，+∞) C.（-∞，+∞） D.（-∞，0）

3．

设a∈{-1,1,1a ,3},则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有a的值为2（

）

A. 1，3 B. -1，1 C. -1，3 D. -1，1，3

巩固型题组

2m34．

已知幂函数y=xm (m∈z)的图象与x,y轴都无公共点，且关于y轴对称，2求m的值。

5．

已知函数f(x)=x2+a (x≠0,常数a∈R) x⑴讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

⑵若函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数，求a的取值范围。

1

提高型题组

6．

设函数f(x)= xa(x≠1) x1⑴若a=5,解不等式f(x)＞x1

⑵若f(x)≤x在[1,+∞)上恒成立，求a的取值范围。

7．

已知f(x)x1,1大值与最小值。

反馈型题组

9. 下列函数在(-∞,0)上为减函数的是（

）

A. y=23, 试求g(x)f[f(x)]2f(x)在2上的最x13 B. y=x2 C. y=x3 D. y=x2

10. 当x∈(1,+∞)时，函数y=xa的图象恒在直线y=x的下方，则a的取值范围是（

）

A. 0＜a＜1 B. a＜0 C. a＜1 D. a＞1 11. 幂函数y= (m2m12m2)xm ,当x∈(0,+∞)时为减函数，则实数m的值为（

）2A .m=-1 B. m=3 C. m=-1或m=2 D. m≠1+3. 12 已知函数f(x)=

x22xax ,x∈[1,+∞) 2

⑴当a=1时，求函数f(x)的最小值。

2⑵若对任意x∈[1,+∞),f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

知识拓展（抽象函数）

抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

1.借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数

：

①正比例函数型：f(x)kx(k0) ---------------f(xy)f(x)f(y)；

f(x)；

f(y)f(x)③指数函数型：f(x)ax ------------f(xy)f(x)f(y)，f(xy)； f(y)x④对数函数型：f(x)logax -----f(xy)f(x)f(y)，f()f(x)f(y)； yf(x)f(y)⑤三角函数型：f(x)tanx -----

f(xy)。

1f(x)f(y)如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则Tf()____（答：0）

2②幂函数型：f(x)x2 --------------f(xy)f(x)f(y)，f()2.利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：

如（1）设函数f(x)(xN)表示x除以3的余数，则对任意的x,yN，都有

A、xyf(x3)f(x) B、f(xy)f(x)f(y) C、f(3x)3f(x) D、f(xy)f(x)f(y)（答：A）；

（2）设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果3f(1)lg，f(2)lg15，求f(2001)（答：1）；

2（3）如设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x2)f(x)，证明：直线x1是函数f(x)图象的一条对称轴；

（4）已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)f(x4)，且当x2时，f(x)单调递增。如果x1x24，且(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值的符号是____（答：负数）

3.利用一些方法：如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等进行逻辑探究。

如（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)

f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；

（2）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)

3

；

f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）（3）已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)cosx0的解集是_____________（答：(y ,1)(0,1)(,3)）；

22O

1

2

3

x （4）设f(x)的定义域为R，对任意x,yR，都有1xf()f(x)f(y)，且x1时，f(x)0，又f()1，①求证f(x)为减函数；②解y不等式f(x)f(5x)2.（答：0,14,5）

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