信息技术应用 借助信息技术方程的近似解教案（名师）

3.1.1《方程的根与函数的零点》教学设计

教学目标：

（1）知识与技能：

1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2.掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

3.理解并会运用零点存在定理；

4.掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法. （2）过程与方法：

1. 探究二次函数的图象与x轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程根的关系，探究方程的根与函数的零点的联系；

2.经历从特殊到一般的研究过程，培养学生观察、思考、猜想、验证的能力. 3.通过设置相应习题，使学生掌握判断函数的零点个数与所在区间的方法. 4.在课堂探究中领会函数与方程、数形结合、化归与转化的数学思想方法.

（3）情感态度与价值观：

在引导学生通过自主探究、发现问题、解决问题的过程中，激发学生的学习热情和求知欲，使学生感受探究发现的乐趣和成功感，并在过程中培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯. 教学重难点：

教学重点：零点的概念及连续函数的零点存在定理的理解和应用. 教学难点：探究零点存在性定理. 教学过程

（一）

引入新课

同学们，通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数这几个基本初等函数的图像与性质，我们还知道了利用函数及其图像的性质，比如说单调性和奇偶性等，能直观快捷地解决现实生活和数学中的许多问题。当然函数性质的运用远不止这些，今天我们要继续运用函数思想，通过数形结合，来进一步地探讨

“方程的根与函数零点的关系。那么方程与函数之间究竟有什么关系呢？首先，我们从最熟悉的几个二次函数入手，来探讨一元二次方程的根与相应二次函数的关系。

（二）

自主探究

观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数的图象，并写出函数图象与x轴的交点。

一元二次方程

方程的根

x2x30

2x22x10

x22x30

无实数根

[来源:学,科,网Z,X,X,K]x11,x23

x1x21

二次函数

函数的图象

yx22x3

y 4

3

2

1

O

1

2

3

4

x -2

-1

-1

-2

-3

-4

yx22x1

y 4

3

2

1

-2

-1

O

-1

-2

-3

-4

1

2

x yx22x3

y

6

5

4

3

2

1

-3

-2

-1

O

1

2

3

x -1

-2

-3

-4

-5

-6

图象与x轴的交点

问：一元二次方程的根与相应的二次函数图像与x轴交点坐标间有怎样的联系？

预设生：（观察讨论）一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。

师：非常好，如yx22x3图象与x轴有两个交点，对应方程有两个根，x11,x23，而-1与3正好就是这个二次函数图象交点的横坐标。所以一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标。并且方程的根的个数是对应函数图象与x轴交点的个数。

师：刚才我们是对具体的二次函数研究得到了这个结论，那么我们可以将这个结论推广到一般的二次函数及对应方程吗？现在让我们一起来探究一元二次方程axbxc0与相应二次函数2

两个交点

(-1,0),(3,0)

一个交点

(1,0) 无交点

yax2bxca0且a0的关系。

问：一元二次方程有没有根由谁决定？

预设生：判别式△。

师：那接下来我们就分别来看看△>0,△=0,△<0这三种情况下方程解的情况及相应函数图像。

接下来观察下表：

判别式△

△>0 △=0 △<0 方程ax2bxc0两个不相等实数根两个相等实数根

没有实数根

（a>0)的根

x1,x2

x1x2

二次函数yax2bxc

y y y （a>0)的图象

O

x O

x O

x

函数的图象与x轴的两个交点

一个交点

没有交点

交点

(x1,0),(x2,0)

(x1,0)

提问：若判别式△>0，△=0，△<0时它的解的情况及相应函数的图象。

预设生：（1）△>0时，一元二次方程有两个不等的实数根x1,x2，相应的二次函数图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）；

（2）△=0时，一元一次方程有两个相等实数根x1x2，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点（x1，0）；

（3）△<0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点。

师：因此如果一元二次方程没有实数根，则相应的二次函数的图象与x轴没有交点，如果一元二次方程有实数根，它的实数根就是相应二次函数图像与x轴交点的横坐标。

师：这个结论只对二次函数成立吗？对一次函数会不会也成立呢？

比如方程4x20，它的根为？相应一次函数y4x2的如图所示，你发现了什么？预设生：根为x交点的横坐标。

师：所以这个结论对于一次函数也成立，那对于一般函数呢？

预设生：也会成立。

师：因此，我们可以推广到一般的函数，即对于一般的函数而言，函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根，在方程里，这个实数x叫做方程的根，在函数中，我们称它为零点，因此我们就可以得到零点的概念。你能概括出一般函数零点的概念吗？

预设生：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。

师：非常好，现在我们在做一道练习。

练习1：函数y=4x-2的零点是？

预设生：零点是(,0)

师：大家都这样认为吗？我们能说零点就是使函数值为0的点吗？

预设生：不行，我认为是x[来源:Zxxk.Com]

1，它的实数根就是相应一次函数图象与x2y 4

3

2

1

-4

-3

-2

-1O

1

2

3

4

x -1

-2

-3

-4

图象轴

12111，x才使得f(x)0，故把x称为函数的零点.定义中实数222x叫做函数yf(x)的零点. 师：非常好，从定义里我们可以看到零点指的是一个实数，而不是一个点。那我们再回到刚刚的PPT中，大家试着说一下这三个yx2x3，yx2x1，yx2x3二次函数的零点。

预设生：yx2x3的零点是-1,3，yx2x1的零点是1，yx2x3没有零点。

师：非常棒，那像yx2x3有零点-1,3，那-1和3具有那几重角色？对于方程而言，它是？对于函数而言它是？对于函数图像而言，它是？

预设生：对方程而言，-1和3是方程的实数根，对于函数而言，它是零点，对于函数图像而言，它是图像与x轴交点的横坐标。

师：因此我们说对于一般的函数，如果方程f(x)=0有实数根，就等价于？

预设生：函数y=f(x)的图像与x轴有交点。

师：也会等价于？

2222222

预设生：函数f(x)有零点。

师：用数学符号语言表达，也就是函数yf(x)有实数根函数y=f(x)有零点

师:我们再来验证一下这个等价关系，回到函数yx22x1，方程x2x10的实数根是？函数yx22x1的零点是？函数图像与x轴交点的横坐标是？

预设生：都是1. 师:所以我们说这三者间是等价的关系. 问：那以后我们判断y=f(x)有没有零点，可以从哪些角度来判断？

预设生:从“数”的角度就是方程f(x)有没有实数根。从“形”的角度就是函数图像与x轴有交点。

师：这就告诉了我们可以通过数形结合的思想来探讨与零点有关的问题。在研究数学问题时，有时我们更关心的是一个函数在某个区间是否存在零点，或零点所在的区间是什么？一些函数，哪怕是看起来很简单如f(x)lnx1求零点时，我们首先会想到把它转化为相应方程f(x)0，求其解的x2

函数

yf(x)的图像与x轴有交点问题，但是这时候我们会发现它不像一元二次方程那样至少可套用求根公式求方程的根，这时我们又该如何判断零点是否存在？进一步地又该如何探讨零点所在的区间是什么？既然数学源于现实世界，让我们先回归现实生活考察这么一个例子。

（三）

理论内化，巩固升华

探究一：

观察以下两组镜头，在第一组镜头中，小芳上午9点在河的北边，上午10点时在河的南边，在第二组镜头中，小芳上午9点在河的北边，上午10点时仍然在河的北边，那么哪一组镜头能说明小芳的行程一定曾渡河？

第Ⅰ组

河

流

河

流

第Ⅱ组

预设生:学生小组讨论后得出结论：第一组镜头能说明她的行程一定曾渡河。

师：河流可以看成一条直线，小芳9点所在位置视为点A，10点所在位置视为点B，那么现在请大家画出她的可能路径。

师：现在让我们再把这个现实生活中的问题转化为数学问题。如果我们把小芳行走的轨迹看成函数的图像，把河流看成x轴，与河垂直的直线就是y轴.把区间[9,10]一般化为区间[a,b]. 问：根据我们画的路径图可以知道这个函数图像在(a,b)区间内一定会与x轴有交点，那根据我们所学习的三个等价关系，进而我们能得出什么结论呢？

（学生小组讨论）

预设生：函数图像在(a,b)区间内一定会存在零点. 问：回答的非常好，那么大家在思考这样一个问题，要满足怎样的条件才会一定存在零点？刚刚第一组情况人一定曾渡河因为她位于河的两岸，那这一特征体现在图像上就是端点A,B与x轴有怎样的位置关系？

预设生：一个位于x轴下方，一个位于x轴上方. 师：对于函数而言，我们怎样来描述在x轴下方？又是怎样来描述在x轴上方的呢？

预设生：函数值大于0代表位于x轴上方，函数值小于0代表位于x轴下方. 师：那也就是说端点A所对应函数值f(a)>0,B所对应的函数值f(b)<0. 师：我现在将A与B的位置互换一下，还会成立吗？A在下方，B在上方，还会一定有零点存在吗？此时端点A,B间函数值又是怎样的大小关系？

预设生：f(a)<0,f(b)>0.[来源:学科网]

河

流

河

流

师：现在来看一下，第一种情况中f(a)>0,f(b)<0.第二种情况中f(a)<0,f(b)>0

师：也就是说端点A,B所对应的函数值之间有怎样的关系？

预设生：函数值异号. 师：用一个式子来表示也就是？

预设生：f(a)f(b)0. 师：经过了大家共同的努力后，我们利用化归与转化、数形结合的思想，进而发现只要端点函数值是异号的，并且这个函数还是连续不断的，那么这个函数在这个区间内就一定会存在零点。

探究二：（书本上P87探究）

师：现在我们再来通过我们熟悉的二次函数，对我们刚才上述经过猜测得到的结论进行进一步的探究。

例：观察二次函数f(x)x22x3的图像（如图3.1-2）我们发现函数f(x)x22x3在区间[-2,1]上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点吗？在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？

预设生：f(-2)f(1)<0,f(2)f(4)<0 师：也就是说区间端点值异号时，并且函数图像它为连续不断的曲线，这时函数f(x)就会在这个区间内存在零点。

师：所以说一个函数要在区间[a,b]内存在零点一定要具有哪些条件？我们一起来总结一下. 预设生：y=f(x)在[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数y=f(x)在区间(a,b）内存在零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 师：注意定理中是在区间(a,b)内存在零点，是开区间，因为端点值是异号的，说明不能在端点取到零点. 师：现在得出零点存在定理后，让我们一起来利用定理判断以下几个函数有没有存在零点。

练习2.判断下列函数在[-1,1]区间内有没有零点.

y 4

3

2

1

-4

-3

-2

-1O

1

2

3

4

x -1

-2

-3

-4

y 6

5

4

3

2

1

-4

-3

-2

-1O

1

2

3

4

x -1

-2

-3

-4

-5

-6

y 4

3

2

1

O

1

2

3

4

x -2

-1

-1

-2

-3

-4

y 7

6

5

4

3

2

1

-3

-2

-1

O

1

2

3

x -1

-2

-3

-4

-5

-6

师：第一个在区间[-1,1]内有没有零点？

生：没有. 师：为什么？

生：我知道，因为第一个图像是断开的. 师：非常好，这也就告诉了我们如果要在[-1,1]区间内存在零点，图像一定要是连续不断的，那第二个呢？图像是连续不断的，但是为什么没存在零点？

生：因为端点是同号的. 师:那第三个呢？

生：存在. 师：非常好，这时候它即满足连续不断，又满足端点异号.由此看来零点存在定理中的这两个条件缺一不可.那我们现在再来对定理做进一步的探究。

探究1：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，若f(a)f(b)0，则yf(x)在区间(a,b)内一定不存在零点吗？

生：不一定，比如yx2x3，它在[-2,4]内存在零点，但是此时端点值是同号的。

师：那难道说定理错了吗，我们再来思考一下，在探究1的条件下，(a,b)内一定存在零点吗？

生：不一定，比如yx2x3

师：也就是说f(a)f(b)0是不一定有零点，而在定理中y 22fafb0是一定存在零点的，所以我们说定理是不可逆的，也就O

x 是反过来说，若y=f(x)在区间（a,b)内有零点，其端点值也可能会大于

0.（如右图），或小于0. 这种零点我们通常叫不变号零点。所以“函数零点存在性定理”是应用于变号的零点中.

探究2：若满足定理中所有的条件，我们知道一定会存在零点，那是否就能说明y=f(x)在区间(a,b)内只有1个零点？这个命题正确吗？

生：不正确，应该是至少有一个零点，比如上图中[a,d]区间内存在3个零点. 师：那有没有可能存在无数个零点？

生：可能. 师：所以我们说零点存在定理只能判断零点的存在性，说明一定会有零点，但并没有说存在了几个零点，所以我们还可以将定理修正为在区间(a,b)内至少有一个零点，那如果要使得“有且只有一个零点”是正确的结论，那我们从函数的性质，比如说单调性奇偶性这个角度思考，你认为可以将零点存在定理条件作怎样的修改呢？

生：只要让函数在区间[a,b]

上是单调函数就行了.

[来源:Zxxk.Com]

a b a b

师：非常好，其实很好理解，在满足零点存在定理的条件下，只有一个零点，那如果单调递增，那就一直上升，还有没有可能再下降？

生：没有. 师：所以如果f(x)在(a,b)上有零点，并且单调的话就说明只会有一个零点.

师：零点的概念，零点的等价条件以及零点存在定理，这些我们不仅要熟记于心，还要懂得应用他们来解决一些问题，现在请同学们看下面这些问题。

（三）例题讲解

练习3.若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，求a和b的值. 法一：由零点定义，可得f2042ab0a5

f(3)093ab0b6法二：由方程的根与函数的零点之间是等价的关系，可知，两个零点为2和3也就告诉了我们相应方程xaxb0的解为2和3，那么根据根与系数间的关系，可知：

223(a)a5

23bb6练习4.函数f(x)lnx的零点个数？

分析：对于这种对应的方程我们不能套用公式求解，图像也不会画，但是我们可以发现，如果令f(x)=0后，将其移项，左边就变为熟悉的对数函数，右边就是反比例函数，这时问题就转化为求两个函数图像交点个数的问题。所以我们可以数形结合，把讨论原函数零点个数问题转化为讨论方程根个数的问题，在转化为两个函数的图像的交点个数.定义域为0,.

1x令f(x)lnx1lnxx10x

练习5.函数f(x)lnx分析：

1零点所在区间是？

x方法一：刚刚我们已经能够从图像上看出零点只有一个，它就是两个函数交点的横坐标的值，我们还可以从图形上发现在交点前，反比例函数的图像会比对数函数的图像高，交点后，反比例函数的图像会比对数函数的图像低，那也就是说交点前函数值会小于0，交点后函数值会大于0，那么这个交点大概会在1之后，所以我们就可以从好算的点出发来计算，如从1开始，计算一些f1,fe的值，发现f(1)ln1010,f(e)lne1110，因此零点就会在区间1,2内。这道题我们2主要就是抓住零点所在区间端点值异号，找出零点所在区间。

方法二：函数ylnx与y11都是单调递增的函数，那由增+增=增，我们可以知道f(x)lnxxx是单调递增的，它在定义域0,上是连续的，所以我们可以根据刚刚得到的结论知道它在其定义域上只会有一个零点，接下来我们就从好算的点出发来计算，找出零点所在区间，111f(1)ln1010,f(e)lne10

122，所以零点会在区间（1,2）内。（四）

课堂小结

通过这节课，我们学到了哪些知识？[来源学科网ZXXK]

1.方程根与对函数零点的关系，我们可用函数的思想来探讨方程的相关问题. (注意强调零点存在定理只能用来判断函数零点的存在性，不能用来判断零点的个数.) 1.学会求零点个数的方法：

（1）图像法，利用图像数形结合将把讨论原函数零点个数问题转化为讨论方程根个数的问题，在转化为两个函数的图像的交点个数. （2）单调性法：利用单调性来求函数零点个数. 3.还学会了函数与方程、数形结合、化归与转化的数学思想方法.