习题2.1新颖的课程导入教案

第五节

指数与指数函数

[考纲传真]

(教师用书独具)1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单11调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，2，3的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．

(对应学生用书第19页) [基础知识填充] 1．根式的性质

n(1)(a)n＝a. n(2)当n为奇数时，an＝a. aa≥0，(3)当n为偶数时，a＝|a|＝

－aa＜0.nn

(4)负数的偶次方根无意义．

(5)零的任何次方根都等于零．

2．有理指数幂

(1)分数指数幂

mn①正分数指数幂：an＝am(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

m－n11②负分数指数幂：a＝m＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；

nmana③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

1

3．指数函数的图象与性质

a＞1

图象

定义域

值域

R

(0，＋∞) 过定点(0,1)

性质

当x＞0时，y＞1；

当x＜0时，0＜y＜1

在R上是增函数

当x＞0时，0＜y＜1；

当x＜0时，y＞1

在R上是减函数

0＜a＜1 [知识拓展]

指数函数的图象与底数大小的比较

判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．

如图2-5-1是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.

图2-5-1 [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) nn(1)an＝(a)n＝a.(

) 21(2)(－1)4＝(－1)2＝－1.(

) (3)函数y＝2x－1是指数函数．(

) (4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(

) (5)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n.(

) 2

[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)×

12．(教材改编)化简[(－2)6]2－(－1)0的结果为(

) A．－9

B．7

C．－10

D．9 1B

[原式＝(26)2－1＝8－1＝7.] 3．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是(

)

A

B

C

D C

[法一：令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C．

法二：当a＞1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，都不合适；

当0＜a＜1时，y＝ax－a是由y＝ax向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D．] 4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点________．

(2，－2)

[令x－2＝0，则x＝2，此时f(x)＝1－3＝－2，

故函数f(x)＝ax－2－3的图象必过定点(2，－2)．] 5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．

(1,2)

[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] (对应学生用书第20页)

化简下列各式：

指数幂的运算

3

[易错警示]

1指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序. 2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. [跟踪训练]

化简下列各式：

(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图2-5-2所示，其中a，b为常数，指数函数的图象及应用

4

则下列结论正确的是(

)

图2-5-2 A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．

(1)D

[由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝ax－b的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.] (2)[解]

曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，

则b的取值范围是(0,1)．

若将本例(2)中的条件改为“函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减”，则k的取值范围是什么？

[解]

因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，

即k的取值范围为(－∞，0]．

[规律方法]

指数函数图象的画法判断及应用方法

1画判断指数函数y＝axa＞0，a≠1的图象，应抓住三个关键点：1，a，0，11，－1，a. 2与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过5

平移、对称变换得到其图象. 3一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. a，a≤b，+[跟踪训练]

(1)(2017·郑州模拟)定义运算a○b＝则函数f(x)＝b，a＞b，+2x的图象是(

) 1○

(2)方程2x＝2－x的解的个数是________.

【导学号：97190043】

(1)A

(2)1

[(1)因为当x≤0时，2x≤1；

当x＞0时，2x＞1. x2，x≤0，x+则f(x)＝1○2＝故选A．

1，x＞0，

(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．

由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]

◎角度1

比较指数式的大小

下列各式比较大小正确的是(

) A．1.72.5＞1.73

B．0.6－1＞0.62

6 指数函数的性质及应用

C．0.8－0.1＞1.250.2

D．1.70.3＜0.93.1

B

[A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73. B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，

所以0.6－1＞0.62. C中，因为0.8－1＝1.25，

所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．

因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，

所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2. D中，因为1.70.3＞1,0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.] ◎角度2

解简单的指数方程或不等式

1－7，x＜0，

设函数f(x)＝2x，x≥0，是(

) A．(－∞，－3)

C．(－3,1)

B．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) aaa－3x

若f(a)＜1，则实数a的取值范围1111C

[当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为2－7＜1，即2＜8，即2＜2，1因为0＜2＜1，所以a＞－3，所以－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C．] ◎角度3

探究指数型函数的性质

2－x＋2x＋11

函数y＝2的单调减区间为________.

【导学号：97190044】

(－∞，1]

[设u＝－x2＋2x＋1，

1∵y＝2为减函数，

2－x＋2x＋11∴函数y＝2的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

u又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

7

∴所求减区间为(－∞，1]．] [规律方法]

与指数函数性质有关的问题类型与解题策略

1比较指数式的大小：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 2解简单的指数方程或不等式：可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解. 3探究指数型函数的性质：与研究一般函数的定义域、单调性区间、奇偶性、最值值域等性质的方法一致. 1[跟踪训练]

(1)(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－3，则f(x)(

) A．是偶函数，且在R上是增函数

B．是奇函数，且在R上是增函数

C．是偶函数，且在R上是减函数

D．是奇函数，且在R上是减函数

(2)不等式2x2－x＜4的解集为______．

11(3)函数y＝4－2＋1在区间[－3,2]上的值域是________．

(1)B

(2){x|－1＜x＜2}(或－1，2)

3(3)4，57

xxx[(1)∵函数f(x)的定义域为R，

11－xf(－x)＝3－3＝3－3x＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数．

1∵函数y＝3在R上是减函数，

1∴函数y＝－3在R上是增函数．

又∵y＝3在R上是增函数，

1∴函数f(x)＝3－3在R上是增函数．

xxxxx－xx故选B．

8

(2)∵2x2－x＜4，∴2x2－x＜22，

∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，

∴－1＜x＜2. (3)∵x∈[－3,2]，

x∴令t＝12，则t∈14，8，

2故y＝t2－t＋1＝13t－2＋4. 当t＝12时，y3min＝4；

当t＝8时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.] 9