习题2.3教案教学设计导入整理

幂函数教案

教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数

函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握常见幂函数的概念和性

质，难点是根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小。

幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数yx,yx,yx,yx231,yx12。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握yx,yx2,yx3,yx1,yx12这五个函数的图象和性质。

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。

学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。

教学目标：

㈠知识和技能

1．了解幂函数的概念，会画幂函数12的图象，yx,yx,yx，yx1，yx23并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。

2．了解几个常见的幂函数的性质。

㈡过程与方法

1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

2．使学生进一步体会数形结合的思想。

㈢情感、态度与价值观

1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

2．利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点

常见幂函数的概念和性质

教学难点

幂函数的单调性与幂指数的关系

教学过程

一、

创设情景，引入新课

（1）：

思考：Nab

1.

如果a一定，N随b的变化而变化，我们可以建立指数函数：yax

1

2.

如果a一定，b随N的变化而变化，我们可以建立对数函数：

ylogax那么，b一定，N随a的变化而变化是不是也可以确定一个函数呢？

（2）：

问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？

（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数。

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积Va,这里V是a的函数。

问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长aS123,这里a是S的函数

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度Vt1km/s，这里v是t的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)

这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）。

二、新课讲解

（1）幂函数的概念

如果设变量为x,函数值为y，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？

这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？

这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？

幂函数的定义： 一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，是常数。

几点说明：

x前面的系数是1，并且后面没有常数项；

1，y = x中 2，底数是自变量，指数是常量；

3，要确定一个幂函数，需要一个条件就可以，即把常数α确定下来.

【探究1】幂函数与指数函数有什么区别？

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：

对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数

对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

试一试：判断下列函数那些是幂函数

x222（1）y3（2）yx（3）y2x（4）y1 (5)yx1

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质）

（2）几个常见幂函数的图象和性质

2

在初中我们已经学习了幂函数yx,,yx1,yx2的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

根据你的学习经历，你能在同一坐标系内画出函数yx3,yx12的图象吗？

yx3yx2yxyx12yx1

图像特征：

1

第一象限一定有幂函数的图象；

2

第四象限一定没有幂函数的图象；

3

第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断。

【探究2】观察函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象，将你发现的结论写在下表内。

定义域

值域

奇偶性

单调性

定点

图象范围

2312yx

yx

2yx

3yx

2312yx1

【探究3】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：yx,yx,yx,yx,yx1的性质。

（1）

函数yx,yx,yx,yx,yx1的图象都过点1,1

231212（2）

在0,上，函数yx,yx2,yx3和yx单调递增，yx单调递减；

112（3）

函数yx,yx,yx是奇函数，函数yx是偶函数；

312

3

（4）

在第一象限内，函数yx1的图象向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近

【探究4】 幂函数图象在第一象限的分布情况：

＜0＞110＜＜11,1

归纳：幂函数图象在第一象限的性质：

当0时，幂函数yx图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间0,上是单调增函数。

当0

时，幂函数yx图象过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0,)上是单调减函数。

特别注意：

当a＞1时，图象下凸 ； 当0＜a＜1时，图象上凸

（3）例题剖析

【例1】已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3，

＋∞ ），求这个函数的解析式，并求函数的奇偶性、单调性。

解: 略

【例2】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

（1）5.1 5.9；

（2）(a1)__ a

（3）若3＞2，则a 0。

（4）1.30.5aa221515 0.5；

1.3分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

解：略

【例3】

如果函数f (x) =(m2m1)xm是幂函数，且在区间（0，+∞）上是减函数，

4

求满足条件的实数m的值。

解：略

变式训练：如果幂函数f (x) =xm数m的集合。 解：略

三、课堂小结

1、

学习了幂函数的概念，幂函数一般式为：yxα

2、

利用幂函数在第一象限内的图象特征解决问题，会根据奇偶性完成整个函数图象。

3、

利用函数的单调性比较几个“同指数不同底”的幂的大小。

4、

两个数学思想：分类讨论和数形结合。

22m3在区间（0，+∞）上是减函数，求满足条件的实四、布置作业

（1）

课本第79页习题2.3第1、2、3题

（2） 预习新课。

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