阅读与思考 对数的发明教学内容

对数及对数运算

【学习目标】

1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；

2．了解常用对数与自然对数的意义；

3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；

4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．

5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．

【要点梳理】

要点一、对数概念

1．对数的概念

如果abNa0，且a1，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

要点诠释：

对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1，

N>0，

bR．

2．对数logaNa0，且a1具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即N0；

（2）1的对数为0，即loga10；

（3）底的对数等于1，即logaa1．

3．两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN．以e（e是一个无理数，e2.7182）为底的对数叫做自然对数，

logeN简记作lnN．

4．对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．

要点二、对数的运算法则

已知logaM，logaNa0且a1，M、N0

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

logaMNlogaMlogaN

推广：logaN1N2NklogaN1logaN2logaNkN1、N2、、Nk0

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

logaMlogaMlogaN

N（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

logaMlogaM

要点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2

（-3）（-5）是存在的，但log2（-3）与log2（-5）是不存在的．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

loga（MN）=logaMlogaN，

loga（M·N）=logaM·logaN，

logaMlogaM．

NlogaN【典型例题】

类型一、对数的概念

例1．求下列各式中x的取值范围：

（1）log2(x5)；（2）log(x1)(x2)；（3）log(x1)(x1)2．

【答案】（1）x5；（2）x1,且x2；（3）x1且x0,x1

【解析】（1）由题意x50，x5，即为所求．

（2）由题意即x20,

x10,且x11,x2,x1,且x2．

x1,且x2,(x1)20,（3）由题意

x10,且x11,解得x1且x0,x1．

【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．

举一反三：

【变式1】函数ylog2x1(x2)的定义域为

．

【答案】x|x1且x1

21；2类型二、指数式与对数式互化及其应用

例2．将下列指数式与对数式互化：

（1）log2164；（2）log1273；（3）log3313（4）5125；（5）2x3；1（6）9．

3【解析】运用对数的定义进行互化．

21（1）216；（2）27；（3）33（6）log192．

433（4）log51253；（5）log2x；11；23【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．

举一反三：

【变式1】求下列各式中x的值：

（1）log16x12

（2）logx86

（3）lg1000=x

（4）-2lnex

2

【答案】（1）1；（2）2；（3）3；（4）-4．

412【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x．

（1）x(16)6(4)212416612()241161；

412（2）x8，所以x(x)(8)(2)2（3）10x=1000=103，于是x=3；

21362；

xx222（4）由2lnex，得lne，即ee 所以x4．

2