阅读与思考 对数的发明教案评析

2.2.2对数函数及其性质

教学目标

（一）教学知识点

1.了解反函数的概念，加深对函数思想的理解

2.反函数的求法．

（二）能力训练要求

1．使学生了解反函数的概念；

2．使学生会求一些简单函数的反函数．

（三）德育渗透目标

培养学生用辩证的观点，观察问题.分析问题.解决问题的能力．

教学重点

1．反函数的概念；

2．反函数的求法．

教学难点

反函数的概念．

教学过程

一.复习引入：

1.我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt，其中速度v是常量，定义域t

0，值域s 0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即t域t0．

问题1：函数s=vt的定义域.值域分别是什么？

问题2：函数tsvsv，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数，定义域s

0，值中，谁是谁的函数？

问题3：函数s=vt与函数tsv之间有什么关系？

2.又如，在函数y＝2x＋6中，x是自变量，y是x的函数，定义域xR，值域y

R．

我

们从函数y＝2x＋6中解出x，就可以得到式子xy23．

这样，对于y在R中任何一个值，通过式子xy23，x在R中都有唯一的值和它对应．

因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，定义域是y

R，值域是x

R．

3.再如：指数函数yax中，x是自变量，y是x的函数，由指数式与对数式的互化有：xlogy

对于y在（0，+）中任何一个值，通过式子xlogy，x在R中都有唯一aa的值和它对应．

因此，它也确定了一个函数：xlog义域是y（0，+），值域是x

R．

二.讲解新课：

1．反函数的定义

一般地，设函数yf(x)(xA)ay，y为自变量，x为y的函数，定的值域是C，根据这个函数中x，y

的关系，用y把x表示出，得到x=(y)．

若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作xf(t)vtf1(y)，习惯上改写成yf11(x)

开始的两个例子：s=vt记为，则它的反函数就可以写为fx2(t)tv，同样y2x6记为f(x)2x6，则它的反函数为：f1(x)3．

探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数不一定有反函数，如yxyf(x)来说，x[0,)2，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，yx2，有反函数是yx.

探讨2：互为反函数定义域.值域的关系

定义域

值

域

函数yf(x)

A C 反函数yfC A 1(x)

探讨3：y若函数yf1(x)的反函数是什么？

1f(x)有反函数yf(x)，那么函数yf11(x)的反函数就是yf(x)，

这就是说，函数yf(x)与yf(x)互为反函数

探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系

观察讨论函数.反函数的图像，归纳结论：

（1）函数yf(x)的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称．

（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性．

三.讲解例题：

例1．求下列函数的反函数：

①y3x1(xR)；

②yx31(xR). y13解：①由y3x1解得x

∴函数y3x1(xR)的反函数是yx13(xR)，

②由yx31(xR)解得x=3y1，

∴函数yx31(xR)的反函数是y3x1(xR).

小结：求反函数的一般步骤分三步，一解.二换.三注明．

例2．

函数yloga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（1，4），求a的值. 解：根据反函数的概念，知函数

，

yloga(x1)(a0且a1)的反函数的图象经过点（4，1）∴1loga3，∴a3. 小结：若函数yf(x)的图象经过点(a,b)，则其反函数的图象经过点(b,a). 例3．已知函数yf(x)x1，求f1(3)的值．

解：方法一：∵x0

，∴y1，由yx1解得：x(y1)12，

∴f1(x)(x1)2(x1)为原函数的反函数，∴f(3)＝4．

方法二：由反函数的定义得：3四.课堂练习：

1．求下列函数的反函数：

x1，

解得：x＝4，

即f1(3)＝4．

（1）y=4x(x∈R)；

（2）y=0.25(x∈R)；

（3）y=()(x∈R)；

3x1x（4）y=(2)(x∈R)；

（5）y=lgx(x＞0)；

（6）y=2logxax4x(x＞0)；

（7）y=log(2x)(a＞0,且a≠1,x＞0) ；

（8）y=loga2

(a＞0,a≠1,x＞0). 解：（1）所求反函数为：y=log（3）所求反函数为：y=log134x(x＞0)；

（2）所求反函数为：y=log0.25x(x＞0)；

x

(x＞0)；

x

(x＞0)；

（4）所求反函数为：y=logx2（5）所求反函数为：y=10

(x∈R)；

（6）所求反函数为：y=42=2x

(x∈R)；

（7）所求反函数为:y=12a(a＞0,且a≠1,x∈R)；

xx（8）所求反函数为：y=2a(a＞0,且a≠1,x∈R). 2．函数y=3的图象与函数ylog3x的图象关于（

）

A.y轴对称

B. 【答案】D 3．求函数y5x83x2xxx轴对称

C. 原点对称

D. yx直线对称

的值域．

解：∵y5x83x2，

∴x2y8

3y5，5∴

y≠

3，5∴函数的值域为{y|y≠}. 3

4．利用互为反函数的图像的性质求参数

若点1,2既在函数解：由已知得：ymxn上,又在其反函数图象上m3n7,求m,n.

mn22mn1，即，

故m.n的值分别是－3.7．

5．已知f(x)x52xm的图象关于直线yx对称,求m的值．

解：由已知可知，f(x)的反函数是它的本身，即f(x)fx52xm11(x)．

由f(x)得f(x)mx52x1,所以x52xmmx52x1恒成立．

比较对应系数得m1.

五.课堂小结：

1．反函数的定义；求反函数的步骤．

2．互为反函数的函数图象间关系；

3．互为反函数的两个函数具有相同的增减性．

六.课外作业：

1. 阅读教材；

2. 课后习题.