多项式乘以多项式课堂实录【3】

多项式乘多项式

本节是北师大版七年级数学下册第一章《整式的运算》的第8小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历探索与推导完全平方公式的过程，培养学生的符号感与推理能力，让学生进一步体会数形结合的思想在数学中的作用．

一、

学生学情分析

学生的技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础．

学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力．

二、

教学目标

知识与技能：

（1）让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用．

（2）了解完全平方公式的几何背景．

数学能力：

（1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力．

（2）发展学生的数形结合的数学思想．

情感与态度：

将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”．

三、

教学重难点

教学重点：1、完全平方公式的推导；

2、完全平方公式的应用；

教学难点：1、消除学生头脑中的前概念，避免形成

“相异构想”；

2、完全平方公式结构的认知及正确应用．

四、

教学设计分析

本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习．

第一环节：学生练习、暴露问题

活动内容：计算：（a+2）2

设想学生的做法有以下几种可能：

①（a+2）2=a2+22

②（a+2）2= a2+2a+22

③正确做法；

针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢？怎么验证？

活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：

（a+2）2=a2+22，如果不将这种定式思维推翻，就很难建立起一个正确的概念；这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔．

第二环节：验证（a+2）2= a2–4a+22

活动内容：（a+2）2= （a+2）•（a+2）=a2+2a+2a+22

活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”．

第三环节：推广到一般情况，形成公式

活动内容：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2= a2+2ab +b2

活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐．

第四环节：数形结合

活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢？

展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义．

只有让他的错误大暴露，然后“动手术”剔除才能彻底消灭，由此就产生这种结构的教学设计；

2、完全平方公式一定要在学生充分探究的基础上得出，这是一个培养学生推理能力的好机会，切不可为抢进度，冒然给出公式，然后记忆、再用大量的时间进行反复练习，如果这样做，可能学生会应用得很好，但只是知其然，却不知其所以然，对学生的将来发展不利；

3、学生PK活动的设计可以有效地调动学生的学习积极性，让学生学习在一个轻松活泼的学习环境中，避免那种枯燥无味的、单调反复的训练，防止学生陷入麻木、机械的练习，最终失去的是学生对数学的兴趣；

4、学生的反思不能满足于简单的回顾，而旨在发掘学生思想的火花，发掘更深层次的理解

数学能力：

1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力．

（2）发展学生的数形结合的数学思想．

情感与态度：

将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”．

本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习．

针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢？怎么验证？

活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：

（a+2）2=a2+22，如果不将这种定式思维推翻，就很难建立起一个正确的概念；这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔．

第二环节：验证（a+2）2= a2–4a+22

活动内容：（a+2）2= （a+2）•（a+2）=a2+2a+2a+22

活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”．

第三环节：推广到一般情况，形成公式

活动内容：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2= a2+2ab +b2

活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐．

第四环节：数形结合

活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢？

展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义．

学生思考：还有没有其它的方法来诠释完全平方公式？（课后思考）

活动目的：让学生进一步认识到数与形都不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起，从而发展学生的数形结合的数学思想．

第五环节：进一步拓广

活动内容：推导两数差的完全平方公式：（a–b）2=a2–2ab +b2

方法1：（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–ab–ab+b2= a2–2ab +b2

方法2：（a–b）2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b) +(–b)2=a2–2ab +b2

活动目的：让学生经历由两数和的完全平方公式拓广到两数差的完全平方公式的过程，体会到符号差异带来的结果差异，由第二种推导方法体会到两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用．

第六环节：总结口诀、认识特征

活动内容：比较两个公式的共同点与不同点：（a+b）2=a2+2ab +b2

（a–b）2=a2–2ab +b2

收获3：感受到数形结合的数学思想在数学中的作用．

活动目的：通过对一堂课的归纳与总结，巩固学生对完全平方公式的认识，体会数学思想的精妙．

第十一环节：布置作业：

课本P43

习题1.13

五、教学设计反思

1、在学***方公式之前，总会有相当一部分同学认为（a+b）2=a2+b2，甚至有很多学生在学习了这个公式之后也依然有这种概念存在，这就形成了“相异构想”，要将这种错误的前概念消灭在萌芽状态，仅靠反复说教很难行得通，只有让他的错误大暴露，然后“动手术”剔除才能彻底消灭，由此就产生这种结构的教学设计；

2、完全平方公式一定要在学生充分探究的基础上得出，这是一个培养学生推理能力的好机会，切不可为抢进度，冒然给出公式，然后记忆、再用大量的时间进行反复练习，如果这样做，可能学生会应用得很好，但只是知其然，却不知其所以然，对学生的将来发展不利；

3、学生PK活动的设计可以有效地调动学生的学习积极性，让学生学习在一个轻松活泼的学习环境中，避免那种枯燥无味的、单调反复的训练，防止学生陷入麻木、机械的练习，最终失去的是学生对数学的兴趣；

4、学生的反思不能满足于简单的回顾，而旨在发掘学生思想的火花，发掘更深层次的理解．

数学能力：

1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力．

（2）发展学生的数形结合的数学思想．

情感与态度：

将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”．

本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习．

针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢？怎么验证？

活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：

（a+2）2=a2+22，如果不将这种定式思维推翻，就很难建立起一个正确的概念；这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔．

第二环节：验证（a+2）2= a2–4a+22

活动内容：（a+2）2= （a+2）•（a+2）=a2+2a+2a+22

活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”．

第三环节：推广到一般情况，形成公式

活动内容：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2= a2+2ab +b2

活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐．

第四环节：数形结合

活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢？

展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义．

学生思考：还有没有其它的方法来诠释完全平方公式？（课后思考）

3、学生PK活动的设计可以有效地调动学生的学习积极性，让学生学习在一个轻松活泼的学习环境中，避免那种枯燥无味的、单调反复的训练，防止学生陷入麻木、机械的练习，最终失去的是学生对数学的兴趣；

4、学生的反思不能满足于简单的回顾，而旨在发掘学生思想的火花，发掘更深层次的理解．

二、教学目标

1、知识与技能：

体会公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算。

2、过程与方法：

通过让学生经历探索完全平方公式的过程，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展推理能力和有条理的表达能力。培养学生的数形结合能力。

3、情感态度价值观：

体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习自信心。

三、学习者分析

学生已学习了整式的乘法、平方差公式，这些知识的学习为本节课的学习奠定了基础。但是对于几何图形如何用代数来表示，从而表示图形的面积，学生会有一定困难，另外，在具体运用公式时，学生的感性认识往往表现比较突出，一部分学生总是会出现(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2的问题，对公式中a、b的理解，对“和”“差”符号的区别也会有些障碍。七年级学生逻辑思维能力、观察能力，记忆能力和想象能力都有一定的局限性，感性认识往往表现比较突出，很多学生还是处于模仿学习的思维阶段，但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的图形，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，发挥学生学习的主动性，要创造条件和机会，让学生发表见解，在辨别中提高认识。

四、教学重难点分析及解决措施

完全平方公式及其应用. 借助多媒体教学优势，以学习者为中心，主动探索、发现构建知识，通过自主学习完成教学目标，使“大众数学”思想在具体的教学实践中得以充分体现。