平方差公式的应用课堂实录【1】

平方差公式教学设计

肇源县第四中学 张丽娜

一、内容及内容解析

1、内容分析

本节课是七年级下册第一章第七节乘法公式的第一课时。平方差公式是特殊的多项式相乘，它是学习了多项式的乘法以后，对某些具有特殊形式的多项式乘法进行归纳得出的多项式乘法的简算。它虽然简单，但是他的研究方法对于后边学***方公式积累了经验，乃至于为运用公式法分解因式奠定了基础。

本节课的主要内容是平方差公式的意义及其结构特征、平方差公式的几何意义以及公式的灵活运用。

2、重难点分析

本节课的教学重点是：理解并掌握平方差公式及其结构特征；会运用平方差公式进行有关计算。

本节课的教学难点是：公式的灵活运用。

二、目标及目标解析

1、知识技能

（1）理解并掌握平方差公式及其结构特征；

（2）能正确运用平方差公式进行计算。

2、数学思考

通过观察、识别平方差公式及其结构特征，进一步发展观察、归纳、概括等能力，培养逻辑思维能力及语言表达能力。

3、解决问题

（1）发现并归纳出平方差公式；

（2）灵活运用平方差公式进行简算。

4、情感态度

（1）通过探究平方差公式，让学生获得成功的体验，建立自信心；

（2）在运用平方差公式计算的过程中，渗透与他人合作交流的意识和探究精神，增强学生学数学、用数学的兴趣。

三、问题及问题诊断

1、在本节课的教学中，重要的是让学生学会探究、发现规律性的东西，而不是死记硬背，生搬硬套公式。学生只有经过自己的探索，才能认清公式的本质，真正理解并掌握公式的结构特征，从而达到会举一反三，灵活运用。因此，公式的推导过程应把主动权还给学生，教师应注重问题的有效设计。

2、学生刚学习了多项式的乘法，对多项式相乘有一定的经验。同时，以前所学习过的交换律、结合律等实际上也是在运用公式，所以学生有一定的基础。但对于较复杂的多项式及需要变形的多项式，还要有非常细心的态度和敏锐的观察能力，才能准确而灵活地进行计算。

四、教学过程设计

（一）温故知新

活动1：计算下列多项式的积，并观察：这些相乘的多项式有什么特征？运算结果有什么特征？你能分别用字母和语言表述你发现的规律吗？

①(x+1)(x-1)=_______ ②(m+2)(m-2)=_______

③(2x+3)(2x-3)= _______ ④（3a+b）(3a-b)= _______ 平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝a2－b2

语言表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

【预设】学生可能会发现左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；结果也有两项，但不容易看出是平方差。

【设计目的】：在复习运用多项式乘法法则进行计算的基础上，引导学生去发现这些相乘的多项式具有某些特殊形式，其运算结果也具有某些规律性的东西。揭示了平方差公式是某些具有特殊形式的多项式乘法的简算的本质。由特殊到一般，运用不完全归纳法总结平方差公式的一般形式。

【活动方式】：学生先独立计算，然后分组观察、猜想、交流，充分经历平方差公式的产生过程，教师应不断加以引导和鼓励。

（二）验证新知

活动2：你能根据图15.2-1中的面积说明平方差公式吗？

【设计目的】：通过图形的面积使得学生更好地理解公式的正确性，渗透数形结合的思想，引导学生学会从多角度来思考问题。

【活动方式】：在老师的引导下，学生用不同的方法表达图形的面积，进而完成平方差公式的几何验证。

（三）学以致用

活动3：下列哪些能用平方差公式计算?哪些不能?为什么? (1)(x+y)(x-y) (2)(x-y)(y+x) (3)(-x+y)(-x+y) (4)(-x-y)(x-y) (5)(-x+y)(-x-y) (6)(x-y)(-y+x) (7)( 2x2+3)(2x-3)

(8)(x+y-1)（x+y+1）

活动4：判断下列运算是否正确，并指出错误原因：

(1)(7a+8b)(7b-8a)=49a2-64b2 (2)(5ab+1)(5ab-1)=10a2 b2－1 (3) (3+2x)(3-2x)= 9－2x2

(4) （-3x-2）(3x-2)=9x2- 4 活动5：分清a、b，正确运用平方差公式计算: (1)(3m+2n)(3m-2n) (2)(b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y) (4)(-4a-1)(-4a+1) 活动6：适当变形,灵活运用平方差公式进行计算: (5) 98×102. (6) 99×101×10001. (7) (a＋b＋c)(a－b－c) 1211(8) xxx

2421313活动7:李强同学去商店买了9.8元∕千克的饼干10.2千克，你能帮他快速口算出应付多少钱吗？

【预设】学生能找出具体题目中哪一项是公式中的a,哪一项是公式中的b,但是对出现位置变化、符号变化、系数变化、指数变化、连用公式变化的题目容易出错。

【设计目的】在理解和掌握平方差公式结构特征的基础上运用公式进行计算，层层递进，由易到难，由直接用到变形后再用，由单用到连用，由多项式相乘到数字相乘再到生活实践，灵活而多变，不仅巩固了所学知识，而且把知识升华，拓展学生的思维，提升学生的能力。

【活动方式】活动3、4、7让学生口答，活动5、6让学生板演，学生在逐层的练习中进一步体会公式中的a、b既可以代替数，也可以代替字母和式子。教师要特别关注学生对具体题目中a、b的认识，找准相同项和相反项, 提高计算的准确性。

（四）反思小结

1、小结：本节课你学会了哪些知识? （1）平方差公式：(a＋b)(a－b) ＝a2－b2 （2）数学思想：数形结合的思想和转化的思想。

2、反思：在运用平方差公式进行计算时，你对同学有哪些温馨提示？

【设计目的】：通过小结让学生明确本节课所学的知识，深化对公式的理解，使学生养成勤于反思的好习惯，提高学生的学习能力。

【活动方式】：教师引导，学生自主归纳反思。

（五）布置作业

1、基础训练：教材第156页第1题；

2、拓展训练: 填空: (1) (a+b)( )= b2-a2

(2)(-x+y)(-y-x)=( ) 运用平方差公式计算：

(1) (2x＋y－3)(2x－y－3) (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)（3x-2）

【设计目的】作业分两层，第一题必做，第二题选做，使得不同层次的学生在数学上能得到不同程度的发展。

【活动方式】独立思考，课后完成。

五、目标检测设计

：

一、选择题

1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）

A.(x+y)(-x-y) B.(3x+2y)(3x-2z) C.(-x-y)(x-y) D.(x-y)(y-x) 2、下列计算正确的是（ ）

A.(2m+3n)(2m-3n)=2m2-3n2 B.(m+3)(m-3)= m2-3 C.(m+4)(m-2)= m2-8 D.(-1+2m)(-1-2m)=1-4m2

3、下列各式运算结果是a2-4b2的是（ ）

A.(-2b+a)(-2b-a) B.(2b-a)(-2b-a) C.(2b-a)(2b-a) D.(2b-a)(2b+a) 二、填空题

1、(x+6)( )= x2－36 2、(xy-1)(xy+1)=( )-1 三、计算题

1、51×49；

2、(－2x－7)(－2x＋7)；

3、(2m+n)(2m-n)(4m2+n2)；

4、(x+y-3)(x+y+3)；

5、(2x+3y)(2x-3y)-(4y-3x)(3x+4y). 六、板书设计

15.2.1 平方差公式

1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 2.语言表述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

3.结构特征：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；

(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方. 七、教学反思

乘法公式是《整式的乘除》一章的重要内容，也是今后学习数学的重要工具。《数学课程标准》对本节教学内容的要求是：经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的推理能力和归纳能力；掌握平方差公式及其结构特征，能运用公式进行简单的计算；了解平方差公式的几何意义，体会数形结合和转化的数学思想。学生的要学好这部分，必须要注意1、掌握公式的本质是某些具有特殊形式的多项式乘法的简算。2、掌握公式的结构特征是正确使用公式的前提。平方差公式的结构特征是：公式的左边是两个二项式的积，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的右边是这两项的平方差，且是左边的相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方。掌握了这些特点，就能在各种情况下正确运用平方差公式进行计算了。3、

注意公式中字母的广泛意义，乘法公式中的字母a、b既可以代表一个数，又可以代表一个单项式或多项式，只有注意到字母所表示的意义的广泛性，才能扩大乘法公式的应用范围。

同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用。为此，我设计了判断题、选择题、填空题、计算题四种题型，题目涉及到位置、符号、系数、指数、连用公式等变化。在课堂的反映中，我深刻的感到这样的教学内容虽然形式多样、容量比较大，但是又和平方差公式始终紧密联系，非常受学生欢迎，对拓展学生的数学思维大有裨益。主要表现在学生的注意力相当集中，就像爬山一样一步一步爬上山顶，当有些同学有了自己的思路之后，都能大胆地发表自己的见解，而且相当兴奋，成功的喜悦溢于言表。但是我也发现对部分领悟能力较弱的学生有一定的困难，需要老师把解题过程能够全部的展现出来。