数学活动 关于三角形全等的条件教学实录

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1.3 探索三角形全等的条件（7）

1．会作一个角的角平分线，能证明作法的正确性，并在经历“观察——操作——证明”的活动过程中养成善于分析、乐于探究和理性思考的良好习惯；

教学目标

2．会过一点作已知直线的垂线，能证明作法的正确性，体会与“作一个角的角平分线”作法的联系，在比较中探究作法；

3．能在不同的作图题中感悟相同的知识背景，在同一问题中探求不同的作法，从而进一步把握知识本质，逐步形成抽象概括能力和发散思维．

教学重点

会“作已知角的角平分线”和“过一点作已知直线的垂线”

．

教学难点

几何图形信息转化为尺规操作．

教学过程（教师）

一、情境创设

工人师傅常常利用角尺平分一个角．如图（1），在∠AOB的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．

请同学们说明这样画角平分线的道理．

图（1）

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学生活动

提取信息，利用“SSS”

设计思路

呈现说明画角平分线的道理．

工人师傅常常利用角尺平分一个角的情境，为探究新知提供“脚手架”，为“探索活动一”的证明提供思路．

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二、探索活动一

积极思考，回答问题，通过学生的1．说

请按序说出木工师傅的“操整理成下列形式：

．．作”过程．

说：

取OC=OD 移CM=DM “说”，进画射线一步加OM 强2．作与写

用直尺和圆规在图（2）

中按序将木工师傅的“操作”过程作出

．．来，并写出作法．

以O为圆心，任意长弧，分别交射线OA、OB于点C、D．

分别以点C、学生对工D为圆心，大于3．证

请证明你的作法是正确的．

作：

为半径作4．用

用直尺和圆规完成以下作

图：

M12人师傅操作射线作过程的OM CD的长为半径在

理解，引发作弧，两弧学生的数∠AOB的内

学思考，即部交于点将相关的

证明：在△MOC和几何信息ON△MOD中，

OC＝OD，

转化为尺规的操作方法．

“说”与图（2）

图（3）

（1）在图（3）中把∠MON四等分．

（2）在图（4）中作出平角∠AOB的平分线．

说明：过直线上一点作这条直线的垂线就是作以这点为顶点的平角的

角平分线．

OM＝OM，

CM＝DM，

∴△MOC≌△MOD“作”对（SSS），

∴∠COM＝∠DOM，

即OM平分∠AOB．

应，为学生“按序”尺规作图提供更为清晰的流程，AOB图（4）

对突破难点，养成有条理的思考十分有益．“用”就是为了巩固新知

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三、探索活动二

先独立思考，再互相利用已有的图形进1．观察思考．在图（2）作图的基讨论，踊跃回答：

础上，作过C、D的直线l（如图（5）），1．OM⊥l，说明理由行分析，学生对问题的研究既OM⊥直线l

有亲切感观察图中射线OM与直线l的位置关略．

系，并说明理由．

ACM2．（1）比较．

直线l

点O

l

DB又有探究直线AB

点PP

的欲望，此PQ⊥直线AB

时顺理成B（2）分析．

A作图的关键是在直线章的提出图（6）

O

AB

上确定C、D两点，使所研究的

图（5）

得PC＝PD；确定点Q，使问题．

得CQ＝DQ．

“类2．问题变式．

3．学生尝试作图（如比”是发现解决问题策略的一种有效方式，学生通过比较新旧问题的有关信息，不难发现解决新问题的方法，有效地突破了难点．

让学生在活动一的基础你能用圆规和直尺过已知直线外一图（7））并书写作法：

点作这条直线的垂线吗？（如图（6），经过直线AB外一点P作AB的垂线PQ）．

3．比较分析．

引导学生比较新旧两个问题之间的联系，寻求解决新问题的策略．

4．作图与证明．

（1）作法

步骤1 以点P为圆心，适当的长为半径作弧，使它与AB交于C、D．

步骤2 分别以点C、D为圆心，1大于错误！未指定书签。CD的长为半2径作弧，两弧交于点Q．

（1）作图；

（2）书写作法；

（3）证明．

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步骤3 作直线PQ．

∴直线PQ就是经过直线AB外一点P的AB的垂线（如图（7））．

（2）证明略．

5．归纳总结．

根据活动一中的4（2）与活动二可知：

经过一点可以做一条直线与已知直线垂直。

QACDBP上尝试“边作边写”，有利于培养学生的作图能力和几何素养；另外另一方面将“作图、作法、证明”融为一体，有利于培养了学生严谨的数学思维．

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四、知识运用

用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b（如图（8））．

ab图（8）

1．学生尝试作图；

2．交流作法；

本题解决的关3．总结作两条相互垂键是作两直直线的方法．

条相互垂直的直线，但点的位置没有确定，故根据点的位置的不同可选择不同的解题策略．

五、拓展延伸

如图（9），已知A、B是l上的两点，P是l外的一点．

（1）按照下面画法作图（保留作图痕迹）：

①以A为圆心，AP为半径画弧；

②以B为圆心，BP为半径画弧；

③设两弧交于点Q（Q与P分别在l的两旁）；

④连结PQ．

（2）求证：PQ⊥l．

ABlP1．学生按要求独立作图与证明；

相同的问题，不2．小组交流：与前面同的解法一种方法进行比较，说明有利于培两种方法的异同点．

养学生的发散思维，激发学生学习几何图形的兴趣．

通过比较两种不同的方法，进一步加深理解基本作图图（9）

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的知识本质．

六、课堂小结

根据教师对网络图的因为知识联系网络图（教师逐一展示，逐步展示，学生进行回顾学生的学引导学生回顾总结）：

活

动

一

作已知角的角平分线

特例

变式

作图依据：SSS 和总结．

活动

二

作法

习要经历短时记忆到长时记方法1：活动二

忆过程，而网络化的

过直线上的一点作

已知直线的垂线

过直线外的一点作已知直线的垂线

方法2：拓展延伸

总结方式有利于长过平面上一点作已知直线的垂线

知识应用：一题多解

时记忆的形成，有利于完善学生的认知结构，有利于加强知识之间的联系，揭示作图的知识本质．

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七、课后作业

1．已知∠AOB（如图（10）），

1．作业1由学生独立完成；

作业1是为了巩

求作：（1）∠AOB的平分线OC．

2．作业2根据学生的固基本作

（2）作射线OD⊥OC（两种作法）．

实际情况完成，搜集材料图的几种

（3）在OC上取一点P，作出点P后进行全班交流．

到∠AOB两边的垂线段，并比较这两条垂线段的大小关系（要求保留作图痕迹，不写作法和证明过程）．

2．查询资料：能利用直尺和圆规将一个角三等分吗？

A

方法，问题1（2）可培养学生的发散思维，问题1（3）既巩固所学知识，又为后继学***分线的性质”OB作铺垫；

作业2主要是拓展学生知识视野，激发探究欲望．

图（10）

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