角平分线ppt课件配套教案内容

一、尺规作图

1.

作一个角等于已知角的方法

已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′=∠AOB.

B′

D′

B

D

A O A′

O′

C C′

作法：

1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

2.画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；

3.以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；

4.过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.

2.

先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使

A′

B′=AB , B′C′=BC，C′A′

=CA. 作法：

画一个△A′B′C′

，使A′B′=AB, A′C′=AC，B′C′=BC ：

（1）画B′C′=BC；

（2)分别以点B′,C′为圆心，线段AB，AC长为半径

画弧，两弧相交于点A′;

(3)连接线段A′B′，A′C′.

二、角的平分线

导入：

小明家居住在通州区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P 点建成两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连. 问题1：怎样修建管道最短？

问题2:

新修建的两条管道的长有什么关系，画来看一看.

角的平分线的画法

1图12.3-1是一个平分角的仪器，其中AB= AD，AB和AD 着4BC=DC.将点A放在角的顶点，角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就

是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？

作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.

(2)分别以点M，N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.

(3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).

理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：“SSS”．

拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四等分线．

注意：

“大于

MN的长为半径画弧”是因为若以小或等于

MN 的长为半径画弧时，1画出的两弧不能相交．

2

如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝

∠AOB.

角的平分线的性质

11在OC上任取一点P，点P

如图12.3-3，任意作一个角∠AOB，作出

∠AOB的平分线OC.22画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量

PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取

几个点试一试.

通过以上测量，你发现了

角的平分线的什么性质？

1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

要点精析：

(1)点一定要在角平分线上；

(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；

(3)角平分线的性质可用来证明两条线段相等．

2.书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，

PD⊥

OA于点D，PE⊥OB于

点E, ∴PD＝PE.

例1、如图, ∠AOC=∠BOC，点

P 在OC 上，PD⊥OA, PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE. 证明：∵PD⊥OA, PE⊥OB,

∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO,

∠AOC=∠BOC,

OP=OP,

∴△PDO ≌△PEO(AAS).

∴PD=PE.

例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，

求证：BD＝DF.

导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的

△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．

1、如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA

和OB 的距离相等.

2、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD

平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝

6 cm，则△DBE的周长是(

)

A．6 cm

B．7 cm

C．8 cm

D．9 cm

3、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，

BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．

总结：角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F.

(1)角的相等关系：

①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；

②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP ＝90°；

③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.

(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.

三、角平分线的判定

角平分线的性质为：角的平分线上的点到角的两边距离相等. 交换上述已知和结论，你能得到什么结论，

这个新结论正确吗？

判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,

∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)

【例1】

如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.

求证：AD平分∠BAC.

导引：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即

可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．

证明角平分线的“两种方法”

(1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”. 1、在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB

两边距离相等的点应是(

)

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q

2、如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得

S△PAB＝

S△PCD，则满足此条件的点P(

)

A．有且只有1个

B．有且只有2个

C．组成∠E的平分线

D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)

三角形的角平分线

如图，△ABC的角平分线BM，

CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，

CA的距离相等.

三角形得角平分线的交点到三边的距离相等，这个交点叫作三角形的内心.

1

到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(

)

A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条高的交点

D．以上均不对

2 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则

S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.

3 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与

∠ACB的外角的平分线CE相

交于点P.求证：点P到

三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.

角的平分线的性质与判定定理的关系：

(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．

(2)点在角的平分线上

点到这个角两边的距离相等．

性质

(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就一定相等；判定定理反映只要是判定定理

到角两边距离相等的点，都应在角的平分线上．