3.3 幂函数教案公开课一等奖

幂

函

数 【学习目标】

1、过程目标：

（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

（2）使学生体会数形结合的思想。

2、知识技能目标：

了解幂函数的概念，会画幂函数yx,yx2,yx3,yx1,yx2,的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。

3、情感目标：

（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

（2）利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点：幂函数的概念和性质。

教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。

【创设情境】

问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y（元）和购买的蔬菜量x（千克）之间的关系为yx，这里y是x的函数。

问题2：如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2，这里S是a 的函数。

问题3：如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3

，这里S是a 的函数。

问题4：如果正方形的面积为S，那么正方形的边长 a=S，这里a是S 的函数。

问题5：如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度yx1（千米/秒），这里y是x的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量) 这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）

【引入概念】

幂函数的概念：一般地，我们把形如yx的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，是常数。

注意：（1）系数是1；底是自变量；指数是常数。

（2）为了研究方便，我们只对是有理数的情况进行一些讨论

121

【概念理解】

1．幂函数与指数函数有什么区别？

结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数。

从它们的解析式看有如下区别：

对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数

对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数

2．判断下列函数那些是幂函数：

（1）y0.2

（2）yx

（3）yx3

（4）yx2

答案：（1）是指数函数；（2）、（3）、（4）是幂函数。

【探究活动】

1．

活动准备：

在同一坐标系中画出常见幂函数yx,,yx1,yx2的图象。

2．

探究活动一：

[来源:学科网]x15观察函数yx,yx,yx,yx,yx的图象，将你发现的结论写在下表内。

定义域

值域

奇偶性

单调性

yx

R

231213yx2

R

yx3

R

yx

12yx

R

130,

0,

非奇非偶

R

0,

偶函数

R

R

奇函数

R上递增

奇函数[来源:Zxxk.Com]奇函数

R上递增

,0上减0,上增

(1,1),(0,0)

R上递增

0,上增

(1,1),(0,0)

23定点

(1,1),(0,0)

(1,1),(0,0)

(1,1),(0,0)

1213根据上表的内容并结合图象，总结函数：yx,yx,yx,yx,yx的共同性质：函数yx,yx,yx,yx,yx的图象都过点(1,1),(0,0)，且在2312130,上单调递增；

性质归纳：

幂函数yx图象的基本特征是：当0是，图象过点(1,1),(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升,函数在区间0,上是单调增函数。

3．

探究活动二：

请同学们模仿我们探究幂函数yx图象的基本特征0的情况，探讨0时幂函数yx图象的基本特征。（可举函数 yx1,yx2,yx3,yx12为例）

归纳：0时，幂函数yx图象的基本特征：过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0,)上是单调减函数，向上与y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。

【例题选讲】

例1．仿照上面的探究过程，写出下列幂函数的定义域、值域，并指出其奇偶性、单调性。

（1）

yx （2）yx2332 分析：求一个函数的定义域应该从以下几个方面来考虑：

（1）若函数解析式中含有分母，分母不能为0；

（2）若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；

（3）0的0次幂没有意义；

（4）若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0；

幂函数的值域，可以利用所学幂函数的图像与性质；奇偶性可以根据奇偶性的定义判断；判断幂函数的单调性：在第一象限利用性质，其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系。

答案：（1）函数yx的定义域为R，值域为0,，是偶函数，在0,上是增函数，在,0上是减函数。

（2）函数yx3223的定义域为0,，值域为0,，是非奇非偶函数，在0,上是减函数。

例2．比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）

(1) 3.14________ (2)(0.38)3________0.3931212[来源:学|科|网]

11(3)1.251__________1.221 (4)()0.25____________()0.27

33分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小

答案：（1）

〈 ；

（2）

〉

；

（3）

〈 ；

（4）

〈 。

【课堂小结】：

（1）幂函数的性质

（2）常见幂函数的图象

【拓展研究】：

观察函数yx,yx,yx,yx,yx的图象，辨别随着的不同，函231213数图象的变化。