2.2.1 函数的单调性教学实录与评析

江苏省贾汪中学备课纸

课

题

备

课

上

课

教

学

目

标

函数的单调性

2018 年

5 月

8

日

第

11 周

5 月

9 日

课题

课时

总课

时数

授课人

卢运动

班

级

高二（11）

掌握函数单调性的判断与证明，掌握函数单调性的运用

重

点

掌握函数单调性的运用

难

点

掌握函数单调性的运用

授

课

讲练结合

方

法

教学辅

助手段

学生活动

（预学、互学、展学、固学、悟学）

多

媒

体

专用教室

教师活动

知识梳理

1.

函数单调性的定义

(1) 一般地，对于_______________的函数f(x)，如果对于属于这个区间的______两个自变量x1，x2，当________时，都有____________(或都有______________)，那么就说f(x)在教学

过程

设计

这个区间上是增函数(或减函数)．

(2) 如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的_____________；若函数是增函数，则称该区间为__________；若函数为减函数，则称该区间为__________．

2.

复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时1

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具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有________，并且具有这样的规律：______________________．

3.

求函数单调区间或证明函数单调性的方法

(1)________________________；

(2)_____________；

(3)______________．

目标1

函数单调性的判断与证明

1.

(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是______．(填序号) ①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；

②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；

③若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间[0，＋∞)上也是单调增函数，则函数f(x)在R上是单调增函数；

④若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则函数f(x)在R上是单调增函数．

2. (必修1P55习题8改编)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调减区间是___________．

3.函数y＝log0.5(x2－5x＋6)的单调增区间为___________．

2

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1例1：

求证：f(x)＝e＋x在(0，＋∞)上是增函数．

ex

1变式1：已知函数f(x)＝x＋x，求证：函数f(x)在区间(0,1]上是单调减函数．

变式2：(2017·山东卷) 若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数有________．(填序号)

①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.

目标2

函数单调性的运用

1.(必修1P44习题4改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的单调减函数，那么满足f(2－a2)＜f(a)的实数a的取值范围为________．

2. (必修1P44习题2改编)若函数f(x)＝x2－mx＋3在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围为___________．

3

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1，1例2：

(1) 如果二次函数f(x)＝x－(a－1)x＋5在区间22上是增函数，求f(2)的取值范围；

a(2)

若函数f(x)＝log9x＋8－x在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．

1变式：1.如果二次函数f(x)＝x－(a－1)x＋5在区间2，1上具2有单调性，那么实数

a的取值范围为__________．

2.已知函数f(x)＝x2＋4(1－a)x＋1在[1，＋∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是____________．

3.若函数f(x)是定义在(－2,2)上的减函数，且f(m－1)－f(1－2m)＞0，则实数m的取值范围为________．

4

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4.已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)

15. (2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x－2x＋e－ex，其中e是自3x然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．

目标3

抽象函数的单调性

例3：

已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，f(1)2＝－3，且当x>0时，f(x)<0. (1) 求证：f(x)在R上是减函数；

(2) 求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

5

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变式：

已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，恒有f(x)>1. (1) 求证：f(x)在R上是增函数；

(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.

课外

作业

教

学

小

结

6