2.2.1 函数的单调性ppt配套的教案及板书设计

1.3.1 第1课时

函数的单调性

教学目标

1．知识与技能

(1)使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；

(2)初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．过程与方法

(1)培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；

(2)感悟数形结合、分类讨论的数学思想．

3．情感、态度与价值观

领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣．

重点难点

重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性．

难点：根据定义证明函数的单调性和利用函数图象证明单调性．

导入新课

情景导入1

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的

曲线图.

图1-3-1-7 问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？

(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低. 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小. 情景导入2

如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化

规律：

图1-3-1-8 随x的增大，y的值有什么变化？

引导学生回答，点拨提示，引出课题. 设计意图：创设情景，引起学生兴趣. 推进新课

新知探究

提出问题

问题①：分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=变化规律.如图1-3-1-9所示：

1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的x

图1-3-1-9 问题②：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图：从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③：如图1-3-1-10是函数y=x+2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数x

和减函数吗？

图1-3-1-10 设计意图：使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题④：如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？

设计意图：把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图：让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2. 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义. 归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）. 2.函数单调性的定义：设函数f(x)的定义域为I，定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，

f(x)在区间D上是减函数.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.

讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=而减小. ②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数. ③不能. ④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数. (2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数. (3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x1

应用示例

例1

证明函数f（x）=x+1，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增大x4在（2，+∞）上是增函数．

x思路分析：利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，

体会一下再证明. 点评：本题主要考查函数的单调性. 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论. 证明：设x1＞x2＞2，则：

f(x1)f(x2)x1∵x1＞x2＞2；

444x2=(x1x2)(1)；

x1x2x2x1∴x1﹣x2＞0，x1x2＞4，140；

x2x1∴(x1x2)(14)＞0；

x2x1∴f（x1）＞f（x2）；

∴f（x）在（2，+∞）上是增函数．

变式训练1

证明函数

f（x）=2x+证明：设0≤x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）

=2x1+x1﹣2x2﹣x2

=2（x1﹣x2）+（x1﹣x2）

x在[0，+∞）上是增函数．

=（x1﹣x2）[2（x1+x2）+1]，

∵x1＜x2，∴x1＜x2，

∵x1≥0，x2＞0，

∴2（x1+x2）+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴函数

f（x）=2x+x在[0，+∞）上是增函数．

思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明. 思考：除了用定义外，如果证得对任意的x1、x2∈(a,b)，且x1≠x2有分

f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗? 活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数. 讨论结果：能. 例2

已知a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|（x∈R）．

（1）当a=2时，画出函数y=f（x）的大致图象；

（2）当a=2时，根据图象写出函数y=f（x）的单调减区间，并用定义证明你的结论；

思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，

借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明. 教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 点评：讨论函数单调性的三部曲：

第一步，画函数的图象；

第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；

第三步，利用定义加以证明. 解：（1）当a=2时，函数y=f（x）=x(x2),x2,的大致图象如下图所示；

x(2x),x2

（2）当a=2时，f（x）=x|x﹣2|的单调递减区间是[1，2]．

证明：设x1，x2∈[1，2]，x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（2x1﹣x12）﹣（2x2﹣x22）=（x1﹣x2）[2﹣（x1+x2）] ∵x1，x2∈[1，2]，x1＜x2，

∴x1﹣x2＜0，2＜x1+x2＜4，

∴（x1﹣x2）[2﹣（x1+x2）]＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）=x|x﹣2|的单调递减区间是[1，2]．

变式训练2

判断下列说法是否正确：

①已知f(x)=1,因为f(-1)

④因为函数f(x)=函数. 11在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减xx活动：教师强调以下三点后,让学生判断. 1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数). 3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数. 【答案】这四个判断都是错误的. 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行. 拓展提升

判断函数y=x+解：设0＜x1＜x2，

则

y1﹣y2

=（x14在（0，2]、[2，+∞）上的单调性．

x44）﹣（x2）

x1x244﹣）

x1x2=（x1﹣x2）+（=（x1﹣x2）+[4(x2x1)] x2x14）] x2x144＞1，1﹣＜0，

x2x1x2x1=（x1﹣x2）[1﹣（（1）假如0＜x1＜x2＜2，则

0＜x1x2＜4，x1﹣x2＜0，

所以，y1﹣y2＞0，y1＞y2，函数单调递减

（2）假如2＜x1＜x2，则

x1x2＞4，44＜1，1﹣＞0，

x2x1x2x1

又x1﹣x2＜0，

所以，y1﹣y2＜0，y1＜y2，函数单调递增

所以函数在（0，2）内单调递减；在[2，+∞）内单调递增．

课堂检测

1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是(

) A．y＝－x2

B．y＝x2－2 1C．y＝－2x＋1

D．y＝

x【解析】

结合A、B、C、D四个选项所对应函数的图象可知，B正确．

【答案】

B 2．若函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(

) A．f(a)>f(2a)

B．f(a2)

D．f(a2＋1)0，∴a2＋1>a.∴f(a2＋1)

【解析】

∵a2＋1－a＝24【答案】

D 3．若函数f(x)是[－2,2]上的减函数，则f(－1)________f(2)．(填“＞”，“＜”，“＝”)

【解析】

∵f(x)在[－2,2]上是减函数，且－1＜2，∴f(－1)＞f(2)．

【答案】

＞

4．函数y＝|x＋2|的单调递增区间为________．

－x－2，x<－2【解析】

y＝|x＋2|＝图象如下图所示．

x＋2，x≥－2，

故函数的单调递增区间为[－2，＋∞)．

【答案】

[－2，＋∞)

15．求证函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数

x证明：对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

(x2－x1)(x2＋x1)有f(x1)－f(x2)＝. 2x21x22∵00，x2＋x1>0，x21x2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

1∴函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数．

x6．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，

求实数m的取值范围．

解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)＜f(x2)成立；

反之也成立，即若f(x1)＜f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.

因为f(1－m)＜f(m)，

－2≤m≤21所以－2≤1－m≤2解得＜m≤2.

21－m＜m，1∴实数m的取值范围为2，2. 课堂小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结. (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法：数形结合. (4)函数单调性的几何意义是：函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.