实习作业教学设计实例

数学专题：新定义函数

教学目标：1. 理解新定义函数，并能进行简单的应用；

2. 在新环境下研究函数的“旧”性质，通过归纳、转化应用新定义发现解题方法，创造性地解决新问题，提高综合分析问题的能力. 重点：读懂新定义的本质，逐条分析、转化、运算，使问题得以解决. 难点：结合新定义进行恰当转化，结合“旧”性质进行求解. 一、课前小练：

若函数f(x)对其定义域内的任意x1，x2，当f(x1)f(x2)时，总有x1x2，则称f(x)为紧密函数，如函数f(x)lnx (x0)是紧密函数. 给出下列命题：①紧密函数必是单调函x22xa (x0)在a0时是紧密函数；③函数数；②函数f(x)xlogx,

x2是紧密函数；④若函数f(x)为定义域内的紧密函数，则当x1x2时，f(x)2

2x, x2总有f(x1)f(x2)；⑤若函数f(x)是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数f'(x)在定义域内的值一定不为零. 其中为真命题的是

________________.（填序号）

二、典例分析：

例1. 对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T，使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期. 求证：h(x)xsin

变式：已知函数yf(x)，xR，对于函数yg(x)，xI，定义g(x)关于f(x)的对x是以6为周期的余弦周期函数. 3(x,g(x))称函数为函数yh(x)，xI，yh(x)满足：对于任意xI，两个点(x,h(x))，关于点(x,f(x))对称，若h(x)是g(x)，且4x2关于f(x)3xb的“对称函数”h(x)g(x)恒成立，则实数b的取值范围是

________________. 同步练习：已知函数f(x)的定义域为D，若函数f(x)满足条件：存在a,bD，使得abf(x)在a,b上的值域是,，则称f(x)为“倍缩函数”. 若函数f(x)log2(2xt)22为“倍缩函数”则实数t的取值范围是

________________.

例2.已知函数f(x)，若f(x)x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即Axf(x)x，Bxf(f(x))x

（1）求证：AB；

（2）若f(x)ax21

(aR,xR)，且AB，求实数a的取值范围；

（3）若f(x)是R上的单调增函数，x0是函数的稳定点，问：x0是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由. 三、课堂小结：

四、自我测评：

1.形如yb (c0,b0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动xc2地称为“囧函数”。若函数f(x)axx1则当c1，b1时的“囧

(a0,a1)有最小值，函数”与函数ylogx的图象有_________个交点. 2.已知函数yf(x)，xI，若存在常数M，对于任意的x1I，存在唯一的x2I，使得f(x1)f(x2)M，则称函数f(x)在I上的“均值”为M。若f(x)log2x

，2x[1,22014]，则函数f(x)log2x在[1,22014]上的“均值”为__________. 3.已知函数f(x)2x1，xN，若存在x0，nN，使得，f(x0)f(x01)f(x0n)63成立，则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”故函数f(x)的“生成点”共有______个. 4.对于函数f(x)，若存在实数对(a,b)，使得等式f(ax)f(ax)b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f(x)是“(a,b)型函数”. （1）判断函数f(x)4是否为“(a,b)型函数”，并说明理由；

（2）已知函数g(x)是“(1,4)型函数”，当x[0,2]时，都有1g(x)3成立，且当x[0,1]时，g(x)xm(x1)1

(m0)，试求m的取值范围. 五、总结提升: 2x