2.2.2 函数的奇偶性第二课时教学实录

课题：函数的奇偶性

授课教师：江苏省宝应中学

冯震

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书数学1第2章

【教学目标】

1．了解函数奇偶性的含义，能判断一些简单函数的奇偶性；

2．经历由特殊到一般的探究过程，提升观察、抽象、概括能力及理性思维能力，学会运用函数图象理解和研究函数性质的方法；

3．感受并欣赏自然、生活及数学中的对称美，领悟数形结合等数学思想方法．

【教学重点】

函数奇偶性的概念及建立过程

【教学难点】

函数奇偶性的理解及认识

【教学方法与教学手段】

启发与探究教学相结合，多媒体课件

【教学过程】

一、数学欣赏

大自然中的对称现象（美丽的蝴蝶、六角形的雪花晶体）往往令我们惊叹不已，于是人们喜欢用对称来点缀日常生活（徽章、商标），在数学中，利用对称还可以作出很多美妙的曲线（动画）．

【设计意图】从大自然中的对称现象到生活中的对称设计，再到数学中的对称曲线，带领学生欣赏无处不在的对称之美，感受对称与生活的紧密联系，数学对自然的生动刻画，短、平、快地使学生进入到本节课的学习中来．

二、数学活动

在我们学过的函数中，有的函数图象也具有这种对称性．如函数f(x)x2，它的图象具有怎样的对称性呢？

y4

O2

−2

2x

问题1：函数f(x)x2的图象具有怎样的对称性？

生：关于y轴对称．

【设计意图】从学生熟悉的抛物线出发，让学生感受对称美就真实发生在课堂之中，曾在自己的学习生活中触碰过，再次直观感知图象的对称．

我国著名数学家华罗庚先生说过：形少数时难入微．今天，我们就从数的角度，来看看图象的对称性体现出怎样的数量关系．

【活动1】已知函数f(x)x2，请计算一组函数值：

x

f(x)

2

1



1212

1

2

问题2：通过填表，你有什么发现？

生：f(x)f(x)，x取表格中的几个值．

追问1：对定义域R内的每一个值，这个等式都成立吗？

生：成立（或有犹豫）．

追问2：你能证明这个结论吗？

生：f(x)(x)2x2f(x)．

问题3：你能用文字语言描述等式f(x)f(x)吗？

生：自变量取一对相反数时，对应的函数值相等．

【设计意图】以一个“低起点”的计算函数值问题开始，使每一位学生都参与进来，让学生经历观察、归纳、概括、论证的数学发现过程，感受数量关系对函数图象对称性的精确刻画，实现“从有形到无形”的飞跃，并引导学生进行数学等式与文字语言的转换、比较，理解抽象的数学化符号．

三、数学建构

我们把具有这个共性的这类函数称为偶函数．

问题4：你能给偶函数下个定义吗？

师生活动：请学生概括、补充、完善偶函数的定义．

追问：偶函数对定义域有什么要求吗？

引导学生从数和形两个方面认识．

定义辨析：（1）定义中的“任意”的含义；（2）如何说明一个函数不是偶函数．

练习：对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？

（1）若f(x)是偶函数，则f(2)f(2)；

（2）若f(2)f(2)，则函数f(x)是偶函数；

（3）若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数．

【设计意图】让学生自己抽象概括，亲身经历偶函数定义的形成过程，锻炼数学表达的能力，在补充、完善的过程中加深对数学等式的理解，实现“从有限到无限”的飞跃．顺着改变定义域表现形式的契机，提出定义域特点的讨论，使学生从数和形两个方面对偶函数的概念加以理解．通过定义辨析，使学生体会定义中的关键词，初步了解利用定义肯定或否定的方法．

【活动2】请你举出一些偶函数的例子，并选取其中一个进行证明．

（预设）生：f(x)x21，f(x)|x|，f(x)x4，…，

求证：函数f(x)x21是偶函数．

（板书）证明：函数f(x)x21的定义域是R．因为对于任意的xR，都有f(x)(x)21x21f(x)，所以函数f(x)x21是偶函数．

【设计意图】将偶函数这一抽象的概念具体化，可以反映学生的理解情况，同时也能促进学生更好地理解．通过学生互相补充、完善，规范证明过程，为后续的研、学、思做好示范．

1问题5：如果函数f(x)(x0)的自变量取一对相反数，那么f(x)与f(x)x有怎样的关系？

生：f(x)f(x)．

师生共同给出奇函数的定义．

【活动3】自主认识奇函数．

1．你能用文字语言描述等式f(x)f(x)吗？

2．奇函数的图象有怎样的特征？

3．奇函数的定义域有什么特点？

4．请你举出一些奇函数的例子，并选取一个进行证明．

师生活动：学生自主探究，教师巡视，个别指导，展示交流．

【设计意图】偶函数的重点探究，意在教会学生研究的方法，学生可以将研究方法迁移到奇函数的探究中．奇函数定义的获得，跳过偶函数的形成过程，直接从函数的解析式得到，使学生获得认知上的提升，再放手让学生自主去认识奇函数，在用的过程中熟练、体会、理解、感悟．

四、数学应用

例1

判定函数f(x)(x1)2是否为偶函数或奇函数．

（预设）囿于奇、偶函数的判定思路，学生会直接用f(x)f(x)，且f(x)f(x)判定其既不是奇函数也不是偶函数．引导学生分析其所列不等式的

真实含义，并再次回归定义，强化对定义中“都有”的理解．

【设计意图】通过判定一个函数既不是奇函数，又不是偶函数，提升学生的逻辑思辨能力．运用“补美”心理引导学生提出并寻找既是奇函数又是偶函数的函数，以全面认识函数的奇偶性．

例2

判断函数f(x)x35x是否具有奇偶性．

解：函数f(x)的定义域为R．因为对于任意的xR，都有f(x)(x)35(x)(x35x)f(x)，所以函数yf(x)为奇函数．

小结：你能总结一下判断函数奇偶性的主要步骤吗？

【设计意图】通过对一个陌生函数的奇偶性判断，强化学生运用奇、偶函数定义的能力，提升学生对奇、偶函数概念的理解．通过学生总结判断函数奇偶性的步骤，提升问题解决模型化的能力，加深学生对函数奇偶性的认识．

五、数学思考

如果一个函数是奇函数，且在y轴右侧的图象如图所示，那么你能直接得到这个函数的最小值吗？

y

4

3

2

1

O

1

2

3

4

x

【设计意图】回应课始的“爱心”曲线，回归形的直观，揭示研究函数奇偶性的价值所在：只需研究函数的一半，即可“事半功倍”，获取对整个函数的认识．激发学生的学习热情．

六、课堂小结

通过今天的学习，你有哪些收获、感受、体会？

辅助问题：我们经历了怎样的研究过程？对你的学习有哪些启发？你还想继续研究哪些问题？

【设计意图】通过学生总结内容、提炼方法、分享感受，交流思想，培养学生学习——总结反思的良好习惯．在自我评价中体验成功的快乐，提升学习的自信心，感受成长的乐趣．同时引导学生跳出本节课的内容，体会函数的奇偶性只是研究特殊的对称，学有余力的学生可以自主探索更为一般的对称问题．

作业布置：

1．（必做题）课本第44页

习题2.2 第5题，第6题；

2．（选做题）尝试用数量关系刻画函数f(x)(x1)2的图象的对称性．

【教学设计说明】

本节课遵循学生的认知规律，贴近学生的“最近发展区”设置活动，让学生经历从感性认识到理性研究的数学化过程．本节课的教学努力让学生：

1．经历过程，培养思维习惯

让学生经历函数奇偶性概念的产生过程，充分体验“观察归纳→抽象概括→推理论证”的发现之旅，感受数量关系对图象对称性的精确刻画，培养学生的数学抽象素养，体会利用函数图象研究函数性质的典型方法，从特殊到一般的研究视角，领会学习之“渔”．

2．情感投入，展示思维活动

创设不同形式的活动氛围，吸引学生情感投入，以主人翁的身份参与课堂活动．活动目的不仅仅是为了得到结果，还要引导学生探寻结果背后的真相，展示学生归纳概括、形数转换、推理论证等思维活动，培养学生“数学的眼光”，提升学生“数学的思维”．

3．学会欣赏，感悟数学之美

借助多媒体积极营造对美的欣赏与追求的氛围．从自然、生活中的对称之美，到数学化符号的和谐之美，奇异之美，研究函数奇偶性的价值之美，意义之美，以美来激励学生的学习．希望我们的学生能用欣赏的心态学数学，用数学的眼光看世界，用数学的方法优化自己的生活，创造美好的生活．