3.4.1 函数与方程ppt课件配套教案内容

§2.8

函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使

的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有

⇔函数y＝f(x)的图象与

⇔函数y＝f(x)有

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个_

也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

3.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(

)

1(4)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1

) 2

1．函数f(x)x14的零点为

2．根据表格中的数据，可以判定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________. x ex

x＋2

x－1

0.37

1

0

1

2

1

2.72

3

2

7.39

4

3 20.09 5 1113．若x1，x2是方程2()x的两个实根，则x1＋x2＝________. 24．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．

5．若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3x22x20的一个近似解（精确到0.1）为

. f(1)2

f(1.375)0.260

f(1.5)0.625

f(1.4375)0.162

f(1.25)0.984

f(1.40625)0.054

题型一

函数零点的判断和求解

1例1

(1)已知函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为

(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为______．

x2ln x－x＋2x，x>0，(2)函数f(x)＝的零点个数是________．

4x＋1，

x≤0

若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．

题型二

二次函数的零点问题

例2

已知函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是

题型三

函数零点和参数的范围

例3

已知函数f(x)x28x,g(x)6lnxm,是否存在实数m使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有三个不同交点,若存在求出实数m,不存在,说明理由.

x

已知函数fxe1，其中e是自然对数的底数. xe（1）证明fx为R上的奇函数；

e21（2）试判断方程fx的实根的个数。

e

x2－1，

x≤1，1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．

1＋log2x，

x>1，

2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．

3．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．

4．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.

x2－1，x>0，5．已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范－x－2x，x≤0，

围是________．

§2.8

函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使

的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有

⇔函数y＝f(x)的图象与

⇔函数y＝f(x)有

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

，那么，函数y＝f(x)在区间

内有零点，即存在c∈(a，b)，使得

，这个_

也就是方程f(x)＝0的根．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

3.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且

的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间

，使区间的两个端点逐步逼近

，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.(

) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(

)

1(4)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1

) 2

1．函数f(x)x14的零点为

2．根据表格中的数据，可以判定函数f(x)＝ex－x－2的一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________. x ex

x＋2

x－1

0.37

1

0

1

2

1

2.72

3

2

7.39

4

3 20.09 5 1113．若x1，x2是方程2()x的两个实根，则x1＋x2＝________. 2答案

－1 1111xxx解析

∵2()，∴22，

2x11∴x＝－1即x2＋x－1＝0，

x∴x1＋x2＝－1. 4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2，3]上的近似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为________．

5．若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3x22x20的一个近似解（精确到0.1）为

. f(1)2

f(1.5)0.625

f(1.25)0.984

f(1.375)0.260

f(1.4375)0.162

f(1.40625)0.054

题型一

函数零点的判断和求解

1例1

(1)已知函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为

(k，k＋1) (k∈N*)，则k的值为x________．

11解析

由于f(1)＝log21－1＝－1<0，f(2)＝log22－＝1－>0，因此f(1)·f(2)<0，故由零点存22在性定理知函数f(x)在区间(1,2)内有零点.

2ln x－x＋2x，x>0，

(2)函数f(x)＝的零点个数是________．

4x＋1，

x≤0

当x>0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，

由图知，x>0时，f(x)有两个零点；

1当x<0时，由f(x)＝0得x＝－，

4综上，f(x)有三个零点．

思维升华

函数零点的求法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．

若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．

答案

4 解析

由题意知，f(x)是周期为2的偶函数．

在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下：

观察图象可以发现它们有4个交点，

即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．

题型二

二次函数的零点问题

例2

已知函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

解

g2>0，函数g(x)＝2x＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则a1<－<2，4a－24>0，22g1>0，

a＋5>0，2a＋11>0，即－826，

解得－5

思维升华

解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．

若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是

解析

如果方程有实数根，注意到两个根之积为－4<0，可知两根必定一正一负，因此在[2,4]上有且只有一个实数根，设f(x)＝x2＋ax－4，则必有f(2)f(4)≤0，所以2a(12＋4a)≤0，即a∈[－3,0].故选B. 题型三

函数零点和参数的范围

例3

已知函数f(x)x28x,g(x)6lnxm,是否存在实数m使得yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有三个不同交点,若存在求出实数m,不存在,说明理由.

x

已知函数fxe1，其中e是自然对数的底数. xe（1）证明fx为R上的奇函数；

e21（2）试判断方程fx的实根的个数。

e（1）因为对任意xR，都有f(x)ex11exf(x)，

xxee所以f(x)是R上的奇函数．

…………………………………

4分

e2111（2）解法1：方程f(x)即exxe，

eee11整理得，(ex)2(e)ex10，解得exe或ex（舍），

………

6分

ee由yex是R上的单调增函数可知，x1，

e21所以方程f(x)有且只有1个实根．

………………………

8分

ee2111解法2：方程f(x)即exxe，

eee显然x1是该方程的根．

…………………………………………………

6分

1又f(x)ex()x是R上的单调增函数，

ee21所以方程f(x)有且只有1个实根．

………………………

8分

e

数形结合思想在函数零点问题中的应用

典例：(1)方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是______．

(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，当2

(1)利用零点存在性定理；(2)利用临界情况时f(x)的图象观察零点的大小．

答案

(1)(2,3)

(2)2 解析

(1)设f(x)＝log3x＋x－3，

则f(2)＝log32－1<0，

f(3)＝log33＋3－3＝1>0，

∴f(x)＝0在(2,3)有零点，

又f(x)为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内．

(2)在直角坐标系下分别作出y＝log2x，y＝log3x及y＝3－x，y＝4－x的图象，如图所示，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2,3)之内，又因为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，故n＝2.

温馨提醒

(1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.

方法与技巧

1．函数零点的判定常用的方法有

(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)＝0. 2．研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．

3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．

失误与防范

1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的

横坐标．

2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) x2－1，

x≤1，1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为________．

1＋log2x，

x>1，

答案

0 解析

当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x1＝，又因为x>1，所以此时方程无解．

2综上函数f(x)的零点只有0. 2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．

答案

2 解析

(数形结合法) ∵a>0，∴a2＋1>1. 而y＝|x2－2x|的图象如图，

∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．

3．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．

答案

(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析

∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝m2－4>0，∴m>2或m<－2. 4．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________. 答案

2 解析

由于ln 21，所以f(3)>0，所以增函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2. x2－1，x>0，5．已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范－x－2x，x≤0，

围是________．

答案

(0,1) 解析

画出f(x)＝

x2－1，x>0，的图象，如图．

2－x－2x，x≤0

由于函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，结合图象得：0

x19．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋. 241证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0. 2证明

令g(x)＝f(x)－x. 11111∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，

422281∴g(0)·g()<0. 21又函数g(x)在[0，]上连续，

21∴存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0. 210．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解

方法一

设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，

①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f(0)＝1>0，则应有f(2)<0，

又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，

3∴m<－. 2②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则

Δ≥0，m－10<－2<2，f2≥0，

m－1－4≥0，∴－3

m≥3或m≤－1，－3

由①②可知m的取值范围是(－∞，－1]．

方法二

显然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，

0

11－m＝x＋，

x

1又∵y＝x＋在(0,1]上单调递减，[1,2]上单调递增，

x1∴y＝x＋在(0,2]的取值范围是[2，＋∞)，

x∴1－m≥2，∴m≤－1，

故m的取值范围是(－∞，－1]．

B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 1x＋1－3，

x∈－1，0]，1．(2014·重庆改编)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在x，

x∈0，1]，(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

91－，－2∪0，

答案

42解析

作出函数f(x)的图象如图所示，

其中A(1,1)，B(0，－2)．

1因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，2可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可1与AC重合但不能与x轴重合)，此时0

4422．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作log2x，x>0，同一对“友好点对”)．已知函数f(x)＝2则此函数的“友好点对”有－x－4x，x≤0，

________对．

答案

2 解析

函数f(x)＝

log2x，x>0，的图象及函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象关于原2－x－4x，x≤0

点对称的图象如图所示，则A，B两点关于原点的对称点一定在函数f(x)＝－x2－4x(x≤0)的图象上，故函数f(x)的“友好点对”有2对．

3．若方程4－x2＝k(x－2)＋3有两个不等的实根，则k的取值范围是________．

53答案

(，] 124解析

作出函数y1＝4－x2和y2＝k(x－2)＋3的图象如图所示，函数y1的图象是圆心在原点，半径为2的圆在x轴上方的半圆(包括端点)，函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线，因为点A(－2,0)，则kPA＝3－03＝.直线PB是圆的切线，由圆心到直线的距离等于半径得，2－－24|3－2kPB|5＝2，得k＝.由图可知当kPB

x≥0，4．已知0

x<0，

则实数k的取值范围是________．

答案

(0,1) 解析

函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k>0和k<0作出函数f(x)的图象．当01或k<0时，没有交点，故当0

5．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

1解

f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－. 2a

11①当－≤－1，即0≤a≤时，

2a2f－1≤0，a≤5，须使即

f1≥0，a≥1，

∴a的解集为∅. 11②当－1<－<0，即a>时，

2a211f－2a≤0，－2a－3－a≤0，须使即

f1≥0，a≥1，解得a≥1，∴a的取值范围是[1，＋∞)．

e26．已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋

(x>0)．

x2

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

e2解

(1)方法一

∵g(x)＝x＋≥2e2＝2e，

x等号成立的条件是x＝e，

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，

因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点．

e2方法二

作出g(x)＝x＋

(x>0)的大致图象如图．

x可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，

e2作出g(x)＝x＋

(x>0)的大致图象如图．

x∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，

最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．