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专题归纳提升

专题一

指数、对数的运算

指数与对数的运算是两个重要的知识点，它们是研究指数函数、对数函数的基础，学习中应引起足够的重视．

(1)指数幂的运算顺序：一般先把负指数幂转化成正指数幂，根式化成分数指数幂，在此基础上借助幂指数的运算性质求解．

(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

例1

求下列各式的值：

23－21130(1)(2)2－(－9)－(3)3＋；

2484(2)log327－lg25－lg4＋3log9(3－2)2. 323()223321322＋22＝1. 解

(1)原式＝()2－1－()3＋＝－1－3233222314(2)原式＝log327－log33－(lg25＋lg4)＋3log3(2－3)＝－1－2＋2－3＝－－3. 44log3x，x>01等于(

) 变式训练1

已知函数f(x)＝x则ff92，x≤0，

11A．4

B.

C．－4

D．－

44

1＝flog31＝f(－2)＝2－2＝1.故选B. 【解析】

ff994【答案】

B 专题2 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质

函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂、指、对三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．

1x例2

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2. (1)

画出函数f(x)的图象；

(2)根据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．

1x解

(1)先作出当x≥0时，f(x)＝2的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．

(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．

变式训练2

若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1的图像两两无公共点，结合图像求b的取值范围为________．

【解析】

如图．

当－1≤b≤1时，此三函数的图像无公共点．

【答案】

[－1，1] 专题3

比较大小问题

比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：

将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：

(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；

(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0，1，－1等；

(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．

例3

比较下列各组数的大小．

1－1.5(1)40.9，80.48，2；

(2)log20.4，log30.4，log40.4. 1－1.51.5解

(1)40.9＝21.8，80.48＝21.44，＝2. 21－1.50.48∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.9>2>8. (2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，

∴log0.44

111所以<<，即log20.4

下列各式错误的是(

) A．30.8>30.7

B．log0.50.4>log0.50.6 C．0.75－0.1<0.750.1

D．lg1.6>lg1.4 【解析】对于A选项，由于y＝3x在R上是增函数，且0.8>0.7，

∴30.8>30.7，正确；

对于B选项，由于y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且0.6>0.4，∴log0.50.4>log0.50.6，

正确；对于C选项，由于y＝0.75x在R上是减函数，且－0.1<0.1，∴0.75－0.1>0.750.1，错误；

对于D选项，由于y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且1.6>1.4，∴lg1.6>lg1.4，正确．

【答案】

C 专题4

复合函数的单调性及应用

判断与指数函数、对数函数、幂函数有关的复合函数单调性的方法一般用复合法，但一定要注意考虑复合函数的定义域，若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”．

例4

已知a>0，且a≠1，试讨论函数f(x)＝ax2＋6x＋17的单调性．

解

设u＝x2＋6x＋17＝(x＋3)2＋8，

则当x≤－3时，其为减函数，当x≥－3时，其为增函数，

又当a>1时，y＝au是增函数，当0

所以当a>1时，原函数f(x)＝ax2＋6x＋17在(－∞，－3]上是减函数，在[－3，＋∞)上是增函数；当0

变式训练4

设函数f(x)＝2|x+1|－|x-1|，求使f(x)≥22成立的x的取值范围．

3解

∵y＝2x是增函数，∴f(x)≥22等价于|x＋1|－|x－1|≥.(*) 2①当x≥1时，|x＋1|－|x－1|＝2，∴(*)式恒成立；

33②当－1

24③当x≤－1时，|x＋1|－|x－1|＝－2，(*)式无解．

3，＋∞. 综上，可知x的取值范围是4专题5

分类讨论问题的实质是将整体问题化为部分来解决，从而增加题设条件，这也是解分类讨论问题的指导思想．当问题中含有参数或问题是分类给出的，常常需要分类讨论．

由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的性质都与a的取值有密切的联系，幂函数y＝xα的性质与α的取值有关，a、α变化时，函数的性质也随之改变；因此，在a，α的值不确定时，要对它们进行分类讨论．

例5

求函数y＝loga(a－ax)(a>0且a≠1)的定义域和值域．

解

∵a－ax>0，∴a>ax. 当a>1时，x<1，则f(x)的定义域为(－∞，1)，

当01，则f(x)的定义域为(1，＋∞)．

又∵ax>0，∴0

当a>1时，loga(a－ax)

当0logaa＝1，函数f(x)的值域为(1，＋∞)．

综上所述，当a>1时，函数f(x)的定义域与值域为(－∞，1)；

当0

变式训练5

如果a-5x>ax+7(a>0且a≠1)，求x的取值范围．

7解

①当a>1时，∵a-5x>ax+7，∴－5x>x＋7，解得x<－. 67②当0ax+7，∴－5x－. 67x<－综上所述，当a>1时，x的取值范围为x6；

7x>－当0