小结优秀教学实录

二次函数最值问题

长子一中 何小宁

教学背景

二次函数在整个函数的学习过程中有着重要的地位，在初中教材中，对二次函数作了一定的介绍，但由于初中学生基础薄弱，数学素养较低，受其接受能力的限制，这部分内容的学习多半是机械式的重复讲解与练习，很难从本质上加以理解。高中数学在学习集合的基础上重新学习了函数概念，加入了定义域和值域的概念，从而使学生对函数概念有一个明确的认识。在学习了函数的单调性及最值之后，要让学生明白二次函数的值域随定义域不同而不同，而不是在初中所学在实数集R上只有最大值或最小值。

高中数学教学中，分类讨论和数形结合等数学思想的运用是学生学习的能力要求的重点和难点，而这一类问题在二次函数的最值问题研究中尤其突出。教学内容方面，鉴于学生的实际水平，选择了两类问题研究：函数的定义域区间中含有参数的问题，和函数解析式的系数中含有参数导致二次函数对称轴不固定两类问题。本教学课题的教学目的就在于如何让学生自己体会分类讨论的目的和原则，体会运用数形结合思想方法的必要性和优越性，初步培养他们运用这两种思想方法的能力，注重学生对数学思想方法的领悟。

学生情况分析：

学生已学习了二次函数的图像和性质，已经具备了一定的识图能力、分析图形特征的能力，在第一章学习了函数的单调性及最值后，基本掌握了求最值需要确定函数的单调性的这一思想。但对于分类讨论和数形结合的思想方法的应用还不是很明确。

教学目标：

1）知识与技能

通过引例掌握在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法；掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法； 2）过程与方法： 通过学生自己画图像探索解决问题，加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验；

3）、情感、态度与价值观：

通过本节课的学习使学生在数学活动中感受数学思想方法之美，体会数学思想方法之重要，并培养学生主动学习的意识，增强其学习数学的兴趣和信心。

教学的重点和难点

：

教学重点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解

教学难点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解

分类讨论与数形结合数学思想方法的运用。

教学过程：

引入—讲授新课—课堂练习—课时小结—课后作业

（一）引入

问一：由学生熟悉的二次函数引入，yx2-2x-3(xR)，具体分析了解二次函数的哪些性质。请同学口头回答：（开口方向，对称轴，顶点坐标，函数最值等）

改变x的取值范围，函数的最值情况如何？

1)x[0,3] 2)x[2,3] 3)x[3,1] 问：总结求最值的关键取决于什么函数的哪一个性质。

答：函数的单调性，二次函数的单调性又取决于开口方向及对称轴，所以求二次函数的最值关键就是分析对称轴与给定区间的位置关系。（学生尝试总结）

（二）、新课讲授

变式一：

若x[k,k2]，求函数yx2-2x-3的最小值。（最大值情况又如何呢？留作最后的思考问题。）

问二：此题与（1）（2）（3）题有什么联系和区别？

回答二：都是一元二次函数求最值的问题，但（4）题中函数的定义域（区间）是变化的。

区间变化，函数的最值相应变化。故要进行分类讨论。

先独立思考，有困难再讨论，最后完成解答。

提示后请同学们完成（4）题。允许讨论。

教师巡视，若多数同学感到困难，则再提示要不要通过图像来解答。

学生完成后讲评。

问三：请同学指出分类讨论的依据，并对问题类型归纳。

回答三：由于二次函数的单调性由对称轴决定，所以应该讨论对称轴与给定区间的位置，分析区间的位置，在对称轴的左侧，右侧，或者对称轴在区间内。

注意当对称轴落在区间内时，最大值需对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。

此类问题我们总结为轴静区间动。

变式二：

求函数yx22ax3当x[2,2]时的最小值。

分析此题与上述问题的区别，对称轴不确定，区间确定，那么我们求函数的最值应该从那个方面思考呢？

答：对称轴不确定，是变化的，分析对称轴的位置，在给定区间的左侧右侧或中间。

思考：若求函数的最大值应该注意什么问题。

当对称轴的位置在区间内时，最大值需对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。

三、小结

总结：轴动区间静 轴静区间动

求最值实质就是确定二次函数的单调性，需要分类讨论对称轴是在区间内还是在区间外，然后结合图形解决问题。

作业：

已知函数

f(x)4x24ax4aa2在区间[0,1]上有最大值-5，求a的值