习题3.1教学实录及点评

3.1.1方程的根与函数的零点 教学设计

设计教师：畹町中学 明兴早

一、内容及其解析：

1、内容：

（1）、函数零点的概念

（2）、方程f(x)0的根、yf(x)图象与x轴有交点、yf(x)有零点三者之间的等价关系

（3）、零点存在性定理

2、解析：方程的根是使方程f(x)0左右两边相等的x的值，函数的零点是使f(x)0的x,函数yf(x)的图像和x轴交点的横坐标是yf(x)中纵坐标y0时x的取值,所以他们三者实质上是同一个值，只是在不同的环境中不同的称呼而已，其中体现了数形结合的思想：方程的根与函数图像的结合；转化与化归的思想：求方程的根转化为研究函数的图像与性质，利用求方程的根研究函数的图像与性质；函数与方程的思想。其中方程的根，函数的零点，函数yf(x)的图像和x轴交点的横坐标的关系是核心，零点是连接函数与方程的结点。

本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究,其学***台是学生已经掌握了函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识.对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”

这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种联系正是中学数学重要的思想方法之一“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后的作用。

二、学情分析

本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质，图象已经有了比较系统的认识与理解，特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进入高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。

三、教学目标及解析

（一）教学目标

1

1、知识与技能

（1）结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

（2）结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；

（3）结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．

2、过程与方法

（1）通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；

（2）通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

（3）通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；

（4）通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．

3、情感、态度与价值观

（1）让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；

（2）培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

（3）使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．

（二）解析：方程的根与函数零点的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法，这就是加强数形结合，由具体到抽象，由特殊到一般。首先在初中一元二次方程与一元二次函数学习的基础上，通过一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的观察，分析，归纳，发现方程的根与函数零点的关系，推广到一般情形，进一步用数学语言刻画函数零点的概念并应用，从而掌握求函数零点的方法。

四、教学重点与难点及解析

教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．

教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．

五、教学问题诊断分析：

1、本节课学生可能存在的问题：

（1）、函数零点的概念不能准确把握、把零点理解为点

（2）、零点个数及所在区间不能准确判断

2、分析：学生已经开始习惯抽象逻辑思维，但思维还常常与感性经验直接相联系，仍需具体形象的来支持。学生在没有学习本节知识之前，学生已经学习了一元一次方程、一元二次方程的解法，所以本节课要运用学生已有的知识，从式子、图象来突破难点，设立了例题和目标检测来巩固本节知识，使学生能够运用正确的方法解决零点相关问题。

2

六、教学支持条件分析：

本节课采用多媒体或电子白板教学，可以最大程度地体现出本节课的相关内容和知识，更好地培养学生的数学兴趣和思维能力。

七、教学过程

（一）回顾旧知，发现问题

问题1 求下列方程的根．

（1）3x20；

（2）x25x60；

（3）lnx2x60. 教师活动：请同学们思考、并求解以上方程的根。

学生活动：自行思考

设计意图：以前学习过求简单的方程的根，根据解方程，学生知道还有一些方程不能直接求根，从而引发兴趣。

问题2 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标

方 程

函 数

函 数

图 象

（简图）

方程的实数根

函数的图象与轴的交点

x22x30

x22x10

x22x30

yx22x3

yx22x1

yx22x3

提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？

结论：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标。

问题3

若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程

3

ax2bxc0(a0)及相应的二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？

ax2bxc0

(a0)

0

函数的图象

方

程

的

根

（简图）

图象与x轴

的交点

0

0

教师活动：通过已学知识，完成以上表格

学生活动：自行思考完成

设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。

（二）总结归纳，形成概念

1、函数的零点：对于函数yf(x)，我们把使方程f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点。

教师活动：零点是一个点吗？

学生活动：自行思考，得到零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标

求下列函数的零点。

（1）f(x)lg(x1) （2）f(x)x25x6

小结：求函数零点的步骤：

2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？

4

等价关系：方程f(x)0有实数根

函数yf(x)的图象与x轴有交点

函数yf(x)有零点

设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。

（三）分组讨论，探究结论（零点存在性）

问题4：1

求函数f(x)lnx2x6的零点。

2 判断函数f(x)lnx2x6有没有零点？

设计意图：由学生思考，产生认知冲突，从而激发学生的求知欲。

思考：

函数yf(x)在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数yf(x)一定有零点？

设计意图：铺设台阶，引出本节课的主要问题. 问题5：（1）观察二次函数f(x)x22x3的图象：

1. 在区间[2,1]上有零点______；f(2)_______，f(1)_______, f(2)·f(1)_____0（＜或＞）．

2. 在区间[2,4]上有零点______；f(2)·f(4)____0（＜或＞）．

3.若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何？

思考：根据以上探索，你能得出什么结论？

结论：函数在区间端点处函数值乘积小于0，函数在该区间上有零点. 这个结论推广到一般情况下还成立吗？

5

（2）观察下面函数yf(x)的图象

1.在区间[a,b]上______(有/无)零点；f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．

2.在区间[b,c]上______(有/无)零点；f(b)·f(c)_____0（＜或＞）．

3.在区间[c,d]上______(有/无)零点；f(c)·f(d)_____0（＜或＞）．

若函数在某区间内存在零点，则函数在该区间上的图象是

（间断／连续）；含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量，它们各自所对应的函数值的符号是

（相同／互异）

零点存在定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）.f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c

（

，

），使得f（c）=0.这个c也就是方程f（x）=0的根。

设计意图：先从一个已研究过的、简单的函数入手，引导学生结合函数图象，通过计算、观察、比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析。

（四）观察感知，例题学习

例2（教材第88页）求函数f(x)lnx2x6的零点个数. （1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？

（2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？

解：用计算机或计算器作出x，f(x)对应值表

x

…

1 2 3 4 …

f(x)

…

-4 -1.306 1.0986 3.3863 …

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画出函数的图象，从列表和图象可看出，f(2)0,f(3)0，即f(2)f(3)0,所以函数在（2，3）内有零点。又由于函数在整个定义域内是增函数，故只有一个

思考：①你能给出这个函数是增函数的证明吗？不用计算机或计算器，你能估算出f(2)0 ,f(3)0吗？②作出函数ylnx与y62x的图象，观察两函数图象交点的横坐标与方程lnx2x6的根的关系.

设计意图：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．

（五）课堂巩固、及时反馈

1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根. （1）-x2+3x+5=0；（2）2x(x-2)=-3；

（3）x2=4x-4； （4）5x2+2x=3x2+5．

2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间. （1）f(x)= -x3-3x+5；

（2）f(x)= 2xln(x-2)-3；；

（3）f(x)=x2 -4x+4；

（4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x

（六）反思小结,提升能力

1．函数零点的定义

2．等价关系函数yf(x)的零点

函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标

方程f(x)＝0实数根

3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

4.函数零点的求法. ①

代数法：求方程f(x)0的实数根；

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②

几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（七）课后配餐

A组 优化设计113页1-5题

B组 优化设计114页6-10题

C组 优化设计114页能力提升1-3题

八、板书设计

3.1.1方程的根与函数的零点

函数的零点：

等价关系：

零点存在定理：

自由书写区域

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