习题2.1课件配套优秀获奖教案

必修1第二章

2.1 指数与指数函数复习

一、知识要点：

1．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：amnn＝am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

mn②负分数指数幂：a＝a1mn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

(2)有理数指数幂的性质

①aras＝ars(a>0，r，s∈Q)；

＋②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

2．指数函数的图象与性质

y＝ax

a>1

0

定义域

值域

R (0，＋∞) 过定点(0,1) 性质

当x>0时，y>1；

x<0时，0

在区间(－∞，＋∞)上是增函数

当x>0时，01 在区间(－∞，＋∞)上是减函数

[小题体验]

1．下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(

) 1xxA．f(x)＝x

B．f(x)＝x3

C．f(x)＝

D．f(x)＝3

2解析：选D

根据各选项知，选项C、D中的指数函数满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)．又f(x)＝3x是增函数，

所以D正确．

2．(教材习题改编)已知0.2m<0.2n，则m______n(填“>”或“<”)．

答案：> 363．(教材习题改编)(1)23×1.5×12＝________. 115121(2)2a3b2－6a2b3÷66＝________. －3ab121

答案：(1)6

(2)4a

易错提示：

1．

在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，

也不能既有分母又含有负指数．

2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0

1．化简[(－2)]－(－1)0的结果为(

) A．－9

B．7

C．－10 答案：B 2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是__________．

答案：(1,2)

二、课堂突破（三个重点）

重点一

指数幂的化简与求值

求值与化简：

－213053－2－210.5－22－－122(1)5＋2·b·b3；

－3a2b÷4a3·4－(0.01)；

(2)(易错题)6a·1162

D．9 11(3)－b1

a·623－12·a－12·b13. a·b511142121211116解：(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝. 1004943106101551－2－3(2)原式＝－a－b3÷(4a·b)

263a(3)原式＝－1312－－5－－5－515ab＝－a6b3÷(a3b2)＝－a2·b2＝－·3＝－. 444ab4ab211313b·aab1612－5612b13＝a－11－32－61·b12＋3－6151＝. a[方法提示]

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[提醒]

运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．如“题组练透”第

(2)题易错．

重点二

指数函数的图像及应用

2

1. 函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

) A．a>1，b<0

B．a>1，b>0 C．00

D．0

由f(x)＝ax数f(x)＝ax－b－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

的图象是在y＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0. 2．若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．

解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两

个公共点，则b的取值范围是(0,1)．

[方法提示]

指数函数图象的画法及应用

1－1，. (1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，a(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其

图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

[课堂练习]

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(

)

解析：选A

将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只

有A满足上述两个性质．

2．若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，求k的取值范围．

解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x 轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．

重点三

指数函数的图像及应用

高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题．

常见的命题角度有：

(1)比较指数式的大小；(2)简单指数不等式的应用；(3)探究指数型函数的性质．

3

角度一：比较指数式的大小

3－33－43－41．已知a＝5，b＝5，c＝2，则a，b，c的大小关系是(

) A．c

B．a

C．b

D．c

3－33－430113－4<30＝1，所以c<1，

解析：选D

因为－<－<0，所以>>＝1，即a>b>1，且5552234综上，c

2．不等式2解析：2x2x113113＜4的解集为________．

＜4，∴2x2xx2x＜22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，∴－1＜x＜2. 答案：{x|－1＜x＜2}(或(－1,2)) 角度三：探究指数型函数的性质

ax3．已知函数f(x)＝()1324x3. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；

(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

x解：(1)当a＝－1时，f(x)＝()1324x3，令g(x)＝－x2－4x＋3，

1t由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝3在R上单调递减，

所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是

(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．

1g(x)(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝3，

由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，

a>0，因此必有3a－4解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. a＝－1，1g(x)2(3)由指数函数的性质知，要使y＝的值域为(0，＋∞)．应使g(x)＝ax－4x＋3的值域为R，

3因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)．

故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.

[方法归纳]

应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略

题型

比较幂值的大小

解简单指数不等式

求解策略

(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小

先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不4

等式求解

探究指数型函数的性质

与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致

[提醒]

在研究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．

三、作业设计

（一）基础题

1．函数f(x)＝2|x1|的大致图象是(

) －

2，x≥1，解析：选B

f(x)＝1x－1所以f(x)的图象在[1，＋∞)上为增函数，在(－∞，1)上为减函数．

，x<1.212.52．设a＝22.5，b＝2.50，c＝2，则a，b，c的大小关系是(

) A．a>c>b

B．c>a>b

C．b>a>c

D．a>b>c

解析：选D

a>1，b＝1,0b>c. 3．已知f(x)＝3xb(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为(

) －x－1

A．[9,81]

B．[3,9]

C．[1,9]

D．[1，＋∞) 解析：选C

由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因为f(x)＝3xf(x)max＝f(4)＝9.故f(x)的值域为[1,9]．

4．函数f(x)＝1－ex的值域为________．

解析：由1－ex≥0，ex≤1，故函数f(x)的定义域为{x|x≤0}．所以0

函数f(x)的值域为[0,1)．

答案：[0,1) 5．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________. 解析：当a>1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，则a2－1＝2，∴a＝±3.又∵a>1，∴a＝3. 当0

综上可知，a＝3. 答案：3 （二）．中档题：

1．函数f(x)＝ax2＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点(

) －－2在[2,4]上是增函数，所以f(x)min＝f(2)＝1，

A．(0,1)

B．(1,1)

C．(2,0) 答案：D

D．(2,2) 2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(

) A．a>b>c

B．a>c>b

C．c>a>b

5

D．b>c>a

解析：选A

由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝20.2>1，

b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c. ex－ex13．已知函数f(x)＝x－x，若f(a)＝－，则f(－a)＝(

) 2e＋e－111A.

B．－

C.

224－1

D．－

4－－－ex－exea－eaea－eaea－ea1111－＝. 解析：选A

∵f(x)＝x－x，f(a)＝－，∴a－a＝－. ∴f(－a)＝－aa＝－a－a＝－2222e＋ee＋ee＋ee＋e1x－7，x＜0，24．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(

) x，x≥0，A．(－∞，－3)

C．(－3,1)

B．(1，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

1a1a＜8，即1a＜1－3，

解析：选C

当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即22221因为0＜＜1,所以a＞－3,此时－3＜a＜0；当a≥0时,不等式f(a)＜1可化为a＜1,所以0≤a＜1. 2故a的取值范围是(－3,1)．

5．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是(

) A．(－2,1)

B．(－4,3)

C．(－1,2)

D．(－3,4) 1x1x在(－∞，－1]上是减函数，

解析：选C

原不等式变形为m2－m＜，∵函数y＝221x1－121x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2. ∴≥＝2，当x∈(－∞，－1]时，m－m＜222a1－x的定义域是(1，＋∞)，则实数a的值为________．

6．已知函数f(x)＝ln2a解析：由题意得，不等式1－x>0的解集是(1，＋∞)，

2a由1－x>0，可得2x>a，故x>log2a，由log2a＝1得a＝2. 2答案：2 7．已知函数f(x)＝a|x1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________．

＋解析：∵|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a>1.由于函数f(x)＝a|x1|在

＋＋(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f(1) ＝f(－3)，f(－4)>f(1)．

答案：f(－4)>f(1) 8．y＝2·a|x1|－1(a>0，a≠1)过定点________．

－解析：由题根据指数函数性质令|x－1|＝0，可得x＝1，此时y＝1，所以函数恒过定点(1,1)．

答案：(1,1) 9．化简下列各式：

6

710－3720.5＋0.1－2＋23－3π0＋；

(2) (1)927481223a·a3÷

－723a3·a1. －－252164－3－3＋37

＝5＋100＋9－3＋37＝100. 解：(1)原式＝＋2＋90.12748316483(2)原式＝

72323÷

aa·a＋32·a123

＝

a÷

723a12

＝a÷a76－16＝a＝a. 864310．已知函数f(x)＝a|xb|(a>0，b∈R)．

(1)若f(x)为偶函数，求b的值；

(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．

解：(1)∵f(x)为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)．

即a|xb|＝a|＋－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0. x＋b，x≥－b，(2)记h(x)＝|x＋b|＝

－x－b，x<－b.

①当a>1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，

∴－b≤2，b≥－2. ②当0

[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．

∴f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a>1且b≥－2. （三）．拓展题：

11．当x∈[1,2]时，函数y＝x2与y＝ax(a>0)的图象有交点，则a的取值范围是(

) 21111，2

B. ，2

C. ，2

D. ，2

A. 224412解析：选B

当a>1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·2≥a2，即1

2

11211，2. 当0

2(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)当x＜0时，f(x)＝0，无解；

113当x≥0时，f(x)＝2x－x，由2x－x＝，得2·22x－3·2x－2＝0，

2221. 2|x|7

1将上式看成关于2x的一元二次方程，解得2x＝2或2x＝－，

2∵2x＞0，∴x＝1. 1122t－2t＋m2t－t≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)，

(2)当t∈[1,2]时，2t22∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)，

∵t∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]，

故实数m的取值范围是[－5，＋∞)．

8