小结名师教学视频（文字实录）

第二章

§3

一、选择题

1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是(

) 1A．y＝2

xC．y＝x0

[答案]

D [解析]

∵函数y＝x2的图像是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．

2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m＝(

) A．2

C．10

[答案]

C m[解析]

函数y＝5x2＋mx＋4的图像为开口向上对称轴是x＝－的抛物线，要使函数y10＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则－∴m＝10. 3．函数y＝(k＋2)x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k的范围是(

) A．{k|k≥－2} C．{k|k<－2} [答案]

D [解析]

由题意结合一次函数的图像可知k＋2>0，即k>－2. 54．关于函数y＝－的单调性的叙述正确的是(

) xA．在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的

B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是递增的

C．在[0，＋∞)上是递增的

D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的

[答案]

D 5[解析]

结合函数y＝－的图像可知，其在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的．

xB．{k|k≤－2} D．{k|k>－2} m＝－1，10B．－2

D．－10 B．y＝x3

D．y＝x2

35．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(

) xA．2 C．－1 [答案]

D [解析]

容易判断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1. 6．函数f(x)＝2x2－3|x|的递减区间是(

) 3A．[，＋∞) 43B．(－∞，－] 433C．[－，0]和[，＋∞) 4433D．(－∞，－]和[0，] 44[答案]

D 2x2－3x，x≥0，[解析]

作出f(x)＝2x2－3|x|＝2的图像，由图像易知选D. 2x＋3x，x<0B．3 D．1

二、填空题

7．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为________．

3[答案]

(－∞，－)，(0，＋∞) 23[解析]

根据单调减函数的概念与其图像形状可知：函数的单调减区间为(－∞，－)，2(0，＋∞)．

8．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)

8[答案]

x3



x≥0[解析]

依题意，由不等式组－2x＋8≥0，x>－2x＋88解得

x9．利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝在x∈[2,4]是单调递减函数，并求函数的x－1值域．

[证明]

在[2,4]上任取x1，x2且x1

∴f(x1)－f(x2)＝x2－x1x1x2－＝

x1－1x2－1x1－1x2－1∵2≤x10，x1－1>0，x2－1>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，

∴f(x)是在[2,4]上的减函数．

4∴f(x)min＝f(4)＝，f(x)max＝f(2)＝2，

34因此，函数的值域为[，2]．

310．已知函数f(x)＝x＋1. (1)求函数f(x)的定义域；

(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；

(3)求函数f(x)的最小值．

[解析]

(1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，

所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．

(2)证明：设－1≤x10，

f(x1)－f(x2)＝x1＋1－x2＋1 ＝x1＋1－x2＋1x1＋1＋x2＋1x1＋1＋x2＋1x1＋1－x2＋1

＝x1－x2＝. x1＋1＋x2＋1x1＋1＋x2＋1∵－1≤x1

∴x1－x2<0，x1＋1≥0，x2＋1>0. ∴f(x1)0，

∴函数f(x)在定义域上是增加的．

(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增加的，

∴f(x)≥f(－1)＝0，

即函数f(x)的最小值是0.

一、选择题

1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则(

) A．f(a)>f(2a) C．f(a2＋a)

D 13[解析]

∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，

24∴a2＋1>a，

又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，

∴f(a2＋1)

2．已知y＝f(x)是R上的增函数，令F(x)＝f(1－x)－f(3＋x)，则F(x)在R上是(

) A．增函数

B．减函数

C．先增加后减少

D．先减少后增加

[答案]

B [解析]

设任意的x1，x2∈R，且x1

则F(x2)－F(x1) ＝f(1－x2)－f(3＋x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1) ＝f(1－x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)－f(3＋x2) 因为x11－x2,3＋x2>3＋x1，

所以F(x2)－F(x1)<0，即F(x)在R上是减函数．

二、填空题

3．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．

[答案]

f(－3)>f(－π) [解析]

由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．

4．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围为________．

[答案]

a≥3 [解析]

∵函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2的对称轴为x＝1＋a，∴要使函数在(－∞，4]上是减少的，应满足1＋a≥4，∴a≥3. B．f(a2)

三、解答题

x＋25．利用单调性的定义证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减少的．

x＋1[解析]

设x1>x2>－1，则Δx＝x2－x1<0，

x1＋2x2＋2x2－x1Δy＝y1－y2＝－＝

x1＋1x2＋1x1＋1x2＋1∵x1>x2>－1，x1＋1>0，x2＋1>0，

Δx＝x2－x1<0. ∴x2－x1<0. x1＋1x2＋1Δy＝y1－y2<0. x＋2∴y＝在(－1，＋∞)上是减少的．

x＋16．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5. (1)求f(2)的值；

(2)解不等式f(m－2)≤3. [解析]

(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，

∴f(2)＝3. (2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．

∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，

m－2≥2∴，解得m≥4. m－2>0

∴不等式的解集为{m|m≥4}．

7．已知f(x)的定义域为R，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．

[解析]

f(x)在(－∞，0)上为增加的．

证明：设x1∈(－∞，0)，x2∈(－∞，0)，

且x1

且－x1>－x2. 又f(x)在(0，＋∞)上为减少的，

∴f(－x1)

又∵f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，

∴f(x1)

∴f(x)在(－∞，0)上为增加的．