阅读与思考 集合中元素的个数教学实录

1.1 集合（一）

1.1.1 集合的含义与表示

一、新课导学：阅读书本P2-P5，思考并完成下列问题。

实例引入：军训前学校通知：8月20日8点，高一年级在体育馆集合进行军训活动：试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

问题引入：假设我们班一共42人，其中班长张三，现有以下问题：

（1）52人组成的班集体能否组成一个整体？

（2）张三和52所组成的班集体是什么关系？

（3）假设李四是相邻班的学生，问他与我们班是什么关系？

新知：

一、集合的有关概念

1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2. 一般地，我们把

统称为元素（element），一些元素组成的总体叫

（set），也简称为集。

思考1: 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；（4）方程x10

；

（5）某校2017级新生；

（6）血压很高的人；

（7）著名的数学家；

（8）平面直角坐标系内所有第三象限的点；

（9）全班成绩好的学生。

1 2

3. 关于集合元素的特征：

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一个元素。

（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

二、元素与集合的关系

1. （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：aA

；

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA

；

例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3 A，4 A

。

2. 集合与元素的字母表示：集合通常用大写的拉丁字母A，B，C……表示，集合的元素用小写大拉丁字母a，b，c……表示。

3. 常用的数集及记法：

三、集合的表示方法

用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，2为半径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？

考察下列集合：

2

（1）小于5的所有自然组合的集合；

（2）方程xx的所有实数根组合的集合。

思考1：这两个集合分别有哪些元素？

思考2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？

思考3：这种表示集合的方法叫什么名称？

思考4：列举法表示集合的基本模式是什么？

列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“如：1,2,3,4,5

，x,3x2,5yx

233”括起来表示集合的方法。

说明：1. 集合的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序；

2.

各个元素之间要用逗号隔开；

3.

元素不能重复；

4.

集合中的元素可以是数，点，代数式等；

5.

对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚，后方能用省略号，如自然数集N用列举法表示为1,2,3,4,5,

二、合作探究

例1. 若集合A为所有大于1小于3的实数组成的集合，则下面说法正确的是（

）

A. 0A

B. 1A

C. 0.2A

D. 1A

变式1. 用符号“”或“”填空：

（1）8 N；

（2）0 N；

（3）3 Z；

（4）2 Q；

3

变式2. 判断下列各句的说法是否正确：

（1）所有在N中的元素都在N中 （ ）

（2）所有在N中的元素都在Z中 （ ）

（3）所有不在N中的数都不在Z中 （ ）

（4）所有不在Q中的实数都在R中 （ ）

（5）由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0 （ ）

（6）不在N中的数不能使方程4x8成立 （ ）

例2.

用列举法表示下列集合：

（1）x4的一次因式组成的集合

；

（2）方程x6x90的解集；

（3）20以内的质数

；

（4）大于0小于5的整数。

例3.

已知集合P的元素为1，m3m3，m，若3P且1P，求实数m的值。

222**

4

三、目标检测

1.

用符号“”或“”填空：

（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：

中国

A

；美国

A

；印度

A

；英国

A

。

2. 用符号“”或“”填空：

（1）322

Q

；（2）3

N

；（3）

Q；（4）2

R；（5）9

Z。

73. 下列各组对象不能构成集合的是（

）

A. 大于6的所有整数

B. 高中数学的所有难题

C. 被3除余2的所有整数

D. 函数y1图象上所有的点

x4. 用列举法表示下列集合：

（1）由方程x90的所有实数根组成的集合；

（2）由小于8的所有素数组成的集合；

（3）一次函数yx3与y2x6的图象的交点组成的集合。

225. 方程ax5xc0的解集是,，则a

，b

。

11236. 若x0,1,x，求实数x的值。

2

5

7.

若3a3,2a1,a21，求实数a的值。

8.

集合A的元素是由xab2aZ,bZ组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，11，。

2132

1.1 集合（二）

1.1.1 集合的含义与表示

一、新课导学：阅读书本P2-P5，思考并完成下列问题。

复习回顾：

1. 什么是元素，什么是集合？通常用什么符号表示？

思考：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中的元素个数的多少是否有限制？

2．元素与集合的关系是什么？

6

3. 常用的数集有哪些？怎样表示的？

4. 列举法：把集合中的元素

，并用

括起来表示集合的方法。

探究.：

考察下列集合：

（1）不等式2x73的解组成的集合；

（2）绝对值小于2的实数组成的集合。

思考1：这两个集合能否用列举法表示？

思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？

思考3：上述两个集合可分别怎样表示？

思考4：这种表示集合的方法叫什么名称？

思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？

描述法：把集合中的元素的

描述出来，写在花括号内。

具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合元素所具有的共同特征。

一般格式：xApx

2

如：xx32

，x,yyx1

，x直角三角形

，……

7 

说明：1. 如果从上下文的关系来看，xR，xZ是明确的，那么xR，xZ可以省略，只要写出其元素x，例如，集合DxRx10也可表示为Dxx10。

2. 描述法表示集合应注意集合的代表元素，如2x,yyx23x2与yyx3x2是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可以省略，例如：x整数，即代表整数集Z。

3. 这里的

基础自测：

2

（2）若Axxx，则1

A

；

已包含“所有”的意思，所以不必写x全体整数。

2

（3）若Bxxx60，则3

B；



（4）若CxN1x10，则8

C，9.1

C

。

2. 试选择适当的方法表示下列集合：

（1）由方程x90的所有实数根组成的集合；

（2）不等式4x53的解集；

（3）二次函数yx24的函数值组成的集合；

2

（4）反比例函数y2的自变量的值组成的集合；

x

（5）方程组2xy0的解的集合。

xy30二、合作探究

例1. 分别用列举法和描述法表示方程x3x20的解。

8 2

变式：用列举法表示下列集合：

（1）Axxx,xZ且x8

；

ab,a,b为非零实数

；

（2）Bxxab

（3）Cx6Z,xN。

3x

2例2.

1. 集合AxRxx60与集合B2,3有什么关系？



2. 集合Exx2与集合Fyy2有什么关系？

3. 集合C1,2,与集合D,1,2有什么关系？

例3.

1. 你能用自然语言描述下列集合吗？

（1）Ax,yyx3

；

（2）Bx,yy2

。

x

2. 你能用描述法表示下列集合吗？

（1）奇数集

；

（2）偶数集

；

（3）被3整除余数是1的数集。

9

例4. 已知集合A1,3,a2，若3a2A，求实数a的取值集合。

三、目标检测

**1. 设集合Ax,yxy6,xN,YN，试用列举法表示集合A。



10

2. 用列举法表示下列给定的集合：

（1）大于1且小于6的整数；

（2）Axx1x20；

（3）BxZ32x13。

3. 用列举法和描述法分别表示方程x5x60的集合。

4. 集合Mx,yxy0,xR,yR是指（

）

A. 第一象限内点的集合

B. 第三象限内点的集合

C. 第一、三象限内点的集合

D. 第二、四象限内点的集合

25. 试用适当的方法表示由二元二次方程组yx2yx2的解组成的集合。

6. 已知Aa,a

2（1）若2A，求a的值；（2）若1A，求a的值；

，

11

7. 设a，b都是非零实数，yabab可能取的值组成的集合是

；

abab8. 若22,a21，且21,a3，求a的值。

1.1 集合（三）

1.1.2 集合间的基本关系

一、新课导学：阅读书本P6-P7，思考并完成下列问题。

问题1：实数间有相等、不等的关系，例如：55，37，那么集合之间会有什么关系呢？

问题2：仔细观察下面几个例子，你能发现集合间的关系吗？

（1）A1,2,3，B1,2,3,4,5；

（2）设A为我们班女生的全体组成集合，B为我们班学生的全体组成集成；

（3）设Cxx是两条边相等的三角形，Dxx是等腰三角形。



一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两集合有

关系，称集合A为集合B的

，记作：

，读作A

B或者B

A。

在数学中我们经常用平面上封闭的曲线内部代表集合，这样上述集合A与集合B的包

12

含关系，可以用下图来表示：

（Venn图）

问题3：对于问题2中的（3）中的集合，你有什么发现吗？

如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A与集合B的元素一样，因此集合A与集合B相等，记作：

。

强调：如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的

，记作：

。

问题4：方程x10的实数根组成的集合如何表示？

2我们把不含任何元素的集合叫做

，记作：

。并规定：空集是任何集合的子集。

问题5：包含关系aA与属于关系aA有什么区别？请大家用具体例子说明。

问题6：经过以上集合之间关系的学习，你有什么结论？

（1）任何一个集合都是它本身的

，即

；

（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么

。

二、合作探究

例1. 写出集合a,b的所有子集，并指出哪些是真子集。

13

变式：已知集合Ax0x3,xN，其子集为

个，真子集

个。

思考：子集、真子集的个数与原集合的什么相关，能推导出什么结论？

例2. 用适当的符号填空：

2

（1）a

a,b,c

；（2）0,1

N

；（3）2,1

xx3x20。

变式：下列各式正确的是：

（1）aa；

（2）1,2,33,2,1

；

（3）O0；

（4）00；

（5）1,33,4

1xx5

；

（6）1,2xx2axb0，则a

，b

。

例3.

若

变式：设a，bR，集合1,ab,a0,b,b，则ba

。

a2例4.

已知集合Axx8x150，集合Bxax10，且BA，求由实数a组成的集合。

14

变式：已知集合Ax2x4，Bxxa0，若AB，求实数a取值范围。



三、目标检测

1. 写出集合a,b,c的所有子集。

2.

用适当的符号填空：

22

（1）a

a,b,c

；（2）0

xx0；（3）

xRx10；

22

（4）0,1

N；（5）0

xxx；（6）2,1

xx3x20。

3. 集合M2,4,6的真子集个数为

个。

4. 已知集合A1,2,x，B1,2,x

5. 集合A1,3,a，Ba

6. 已知集合Ax1x5，Bxm5x2m3，且AB，求实数m的取值范围。

2，且AB，求实数x的值。

，且BA，求实数a的取值的集合。

2

15

1.1 集合（四）

1.1.3 集合的基本运算

一、复习巩固：阅读书本P8-P11，思考并完成下列问题。

1. 集合与元素的关系，集合的表示方式，子集、真子集的概念及有关符号；

2. 练习：用列举法表示集合：

，B10的正约数，C6与10的正公约数

A6的正约数并用适当的符号表示它们之间的关系。

二、探究新知：

观察集合A，B，C元素间的关系：

（1）A4,5,6,8

，B3,5,7,8

，C3,4,5,6,7,8

；

16

（2）Axx是有理数

，Bxx是无理数

，Cxx是实数

。

提出问题：

1.

通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？

2.

用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系。

3.

用数学符号来叙述集合A，B与集合C之间的关系。

4.

试用Venn图表示ABC。

5.

请给出集合的并集定义。

一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的

，记作：

读作：

即：AB

。

例1.

A4,5,6,8

，B3,5,7,8

，求AB。

例2. 设Ax1x2，Bx1x3，求AB。



思考：下列关系成立吗？

17

A

；

（3）ABBA

（1）AAA

；

（2）AO

考察下面的问题，观察集合A，B与集合C元素之间有什么关系？

（1）A4,5,6,8

，B3,5,7,8

，C5,8

；

（2）Axx是城中9月份在校的女同学

，

Bxx是城中9月在校的高一同学

，

Cxx是城中9月在校的高一女同学

。

提出问题：

1.

用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系。

2.

用数学符号来叙述集合A，B与集合C之间的关系。

3.

试用Venn图表示ABC。

4.

请给出集合的交集定义。

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的

，记作：

读作：

即：AB

。

例3.

我校开运动会，设Axx是我校高一参加百米赛跑的同学，

18 

Bxx是我校高一参加跳高比赛的同学，求AB。

例4. 设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，用集合的运算表示l1，l2的位置关系。

思考：下列关系成立吗？

O

；

（3）ABBA

。

（1）AAA；

（2）AO

巩固训练：

MN

。1.

集合M1,2,3，N1,5,6,7，则MN

，

2.

集合P1,2,3,m，Mm,3，PM1,2,3,m，则m

。

23.

设集合A1,2，则满足AB1,2,3的集合B的个数是

。

4.

设Ax2x42，Bx2x40，求AB，AB。

5.

设Ax2x42，Bx2x40，求AB，AB。



19

6.

设集合Ax1x2，Bx0x4，求AB。

三、目标检测

1. 设A3,5,6,8，B4,5,7,8，求AB，AB。

222. 设Axx4x50，Bxx1，求AB，AB。



3.

已知Axx是等腰三角形，Bxx是直角三角形，求AB，AB。

4.

设集合Ax2x4，Bx3x782x，求AB，AB。

1,2,3，C3,4,5,6，求AB，AB。

5.

设Axx是小于9的正整数，B

20

6.

已知集合A1,2，则满足AB1,2的集合B的个数是

。

7.

设集合Axx3xa0,aR，Bxx4x10，求AB，AB。

8.

设集合Ax,2x1,4，Bx5,1x,9，若AB9，求AB。

2

9.

已知集合Axaxa3，Bxx1或x5

，求实数a的取值范围；

（1）若ABO（2）若ABB，求实数a的取值范围。

1.1 集合（五）

1.1.3 集合的基本运算

21

一、复习巩固：阅读书本P8-P11，思考并完成下列问题。

1. 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的

，记作：

。

若集合AB，存在元素xB且xA，则称集合A是集合B的

，记作：

。

若AB且BA，则

。

2.

一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的

，记作：

读作：

即：AB

。

3. 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的

，记作：

读作：

即：AB

。

练习：已知Axx30，Bxx3，则A、B、R有何关系？



二、探究新知：

探究1. 设U全班同学，A全班参加足球队的同学，

B全班没有参加足球队的同学，则U，A，B有什么关系？

新知：

1.

全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作：U。

2.

补集：已知集合U，集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做相对于U的

，记作：

，读作：

即：CUAx

22 。

补集的Venn图表示：

试试：

，则CUA

，CUB

。

（1）U2,3,4，A4,3，B（2）设Uxx8,且xN，Axx2x4x50，则CUA

。

（3）设集合Ax3x8，则CUA

。

（4）设U三角形，A锐角三角形，则CUA

。

二、合作探究

例1. 设Uxx是小于1,2,3，B3,4,5,6。

9的正整数，A

求：CUA，CUB，CUAB，CUAB。

例2. 设U2,3,a22a3，Ab,2，CUA5，求实数a，b的值。

例3. 设全集为R，Ax3x7，Bx2x10，求CRAB，CRAB。

23 

探究：补集的性质

根据Venn图填空：（1）CUU

；（2）CU（3）CUAA

；



；（4）CUAA

；（5）CUCUA

。

补集思想的运用：

某些问题若正面考虑，需要对问题进行分类讨论，但其解法比较麻烦时，就可以反面考虑——运用补集思想，先求出反面情况下给定参数（题目中所求字母）的取值范围，再求所得取值范围的补集，即可得所求问题的结果。

22Cxx22x3a0，例3. 已知集合Axxax10，Bx2x3xa0，，求实数a的取值范围。

若A，B，C中至少有一个不为

三、目标检测

1. 已知全集UR，集合Mxx1，则CUM

。

24 

2. 已知集合Ax1x2，则CRA

。

3. 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，求ACUB，CUACUB。

4. 已知集合Ax3x7，求CRAB，CRAB，CRAB，Bx2x10，ACRB

5.

已知全集UABxN0x10，ACUB1,3,5,7，试求集合B。

2，求实数m的取6.

已知集合Axx4mx2m60，Bxx0，若AB值范围。

25

7.

已知集合Ax2x4，Bxxa。

（1）若ABA，求实数a的取值范围；

且ABA，求实数a的取值范围。

（2）若AB

26