小结教学设计第二课时

习题课——单调性与奇偶性的综合应用

课后篇巩固提升

1.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,则f(-1),f(-

),f(

)的大小关系为(

) A.f(

)>f(-

)>f(-1) B.f(

)

)

)

)

)

) 解析:∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3, ∴m=0,即f(x)=-x2+3.

∴当x<0时,函数f(x)为增函数, ∴f(-1)>f(-

)>f(-

)=f(

).

即f(

)

)

)

A.有最小值-5 C.有最小值-1 B.有最大值-5 D.有最大值-3 解析:∵函数f(x)和g(x)都是奇函数, ∴F(x)-2=af(x)+bg(x)为奇函数.

又F(x)在(0,+∞)上有最大值5, ∴F(x)-2在(0,+∞)上有最大值3, 1

F(x)-2在(-∞,0)上有最小值-3, ∴F(x)在(-∞,0)上有最小值-1.

答案:C 3.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)上是减函数,若m<0且m+n>0,则(

) A.f(n)+f(m)<0 B.f(n)+f(m)=0 C.f(n)+f(m)>0 D.f(n)+f(m)的符号不确定

解析:由m<0且m+n>0可得,n>-m>0.

因为函数f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以f(n)

答案:A 4.若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数,则f(x)的递减区间是.

解析:利用函数f(x)是偶函数,得k-1=0,k=1, 所以f(x)=-x2+3,其单调递减区间为[0,+∞).

答案:[0,+∞) 5.若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=2x2+5x+4,则f(x)+g(x)=

.解析:∵f(x)-g(x)=2x2+5x+4, ∴f(-x)-g(-x)=2x2-5x+4, 又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数, ∴-f(x)-g(x)=2x2-5x+4,

2

∴f(x)+g(x)=-2x2+5x-4.

答案:-2x2+5x-4 6.已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是

.

解析:因为f(x)为偶函数,所以f(|x+2|)=f(x+2),则f(x+2)<5可化为f(|x+2|)<5,则|x+2|2-4|x+2|<5,即(|x+2|+1)(|x+2|-5)<0, 所以|x+2|<5,解得-7

答案:(-7,3) 7.若函数f(x)=

-

为奇函数,则f(g(-1))=

.

解析:当x<0时,-x>0.

因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x)=2(-x)2-7x-4 =2x2-7x-4, 所以f(x)=-2x2+7x+4.

即g(x)=-2x2+7x+4, 因此,f(g(-1))=f(-5)=-50-35+4=-81.

答案:-81 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(-∞,0)上是减函数,实数a满足不等式f(3a2+a-3)

.

解析:∵f(x)在区间(-∞,0)上是减函数, 又f(x)是奇函数, ∴f(x)在(0,+∞)上也是减函数.

3

又f(-0)=-f(0),解得f(0)=0, ∴f(x)在R上是减函数.

∵f(3a2+a-3)3a2-2a,解得a>1.

故实数a的取值范围为(1,+∞).

答案:(1,+∞) 9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b为常数)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=

.

解析:f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(ab+2a)x+2a2,f(-x)=bx2-(ab+2a)x+2a2, ∵f(x)为偶函数,∴ab+2a=0, ∴a=0或b=-2.

又f(x)的最大值4,∴b=-2, f(0)=2a2=4,∴a=±

.

∴f(x)=-2x2+4.

答案:-2x2+4 10.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-3,3],且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示,则不等式

<0的解集是

.

解析:不等式

<0可化为f(x)g(x)<0, 由题图可知,当x>0时,其解集为(0,1)∪(2,3).

∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数, 4

∴f(x)g(x)是奇函数, ∴当x<0时,f(x)g(x)<0的解集为(-2,-1).

综上,不等式

<0的解集是{x|-2

答案:{x|-2

解∵f(x)为奇函数, ∴f(1-a2)=-f(a2-1), ∴f(1-a)+f(1-a2)<0 ⇒f(1-a)<-f(1-a2) ⇒f(1-a)

∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,

-

-

∴

-

-

解得0

-

故实数a的取值范围为(0,1).

12.导学号03814023已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).(1)求函数g(x)的定义域; (2)若f(x)是奇函数,且在定义域内单调递减,求不等式g(x)≤0的解集.

解(1)∵函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).

∴

-

-

-

-

.

5

故函数g(x)的定义域为

.

(2)∵f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,由不等式g(x)≤0,得f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3), -

-

∴

-

-

-

-

故不等式g(x)≤0的解集为

.

-

13.已知函数f(x)=

是奇函数.

(1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.

解(1)因为f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1),即1-m=-(-1+2), 解得m=2.

经检验当m=2时函数f(x)是奇函数.

所以m=2.

(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合f(x)的图象知

-

-

-

所以1

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