探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系优秀教学设计

互为反函数的两个函数图象之间的关系

问题1（祥见页面1——“画图象”）

在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x及其反函数ylog2x的图象。

操作步骤：

1．

打开新绘图，单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击2,^,x，这些均在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数y2x的图象。把上述图象设置成粗线，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

2．

单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,2,),ln在函数编辑器的函数选择菜单上，如图1，单击[确定]后立即出现函数ylog2x的图象。把上述图象设置为粗线

，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

3．

屏幕上出现图象2。让学生观察上述图们的对称关系。

问题2 操作步骤：

4．

单击[图表]菜单中的[绘制点]，出现绘制点对话框，如图3。在直角坐标处分别输入-1，0.5，单击[绘制]，就在屏幕上出现一个点。再分别输入0，1，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，再分别输入1，2，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，单击[完成]。在y2的图象上出现了三个点，选择[文本工具]，将上述三个点的标签分别改为P1，P2，P3。如图4。

5．

绘制点（1，1），选择[直线工具]，过原点和（1，1）点绘制直线，选择[文本工具]，将直线标签为“yx”，并双击直线yx，即将直线yx[标记镜面]，用[选择箭头工具]同时选中P1，P2，P3，单击[变换]菜单中的[反射]，屏幕上出现它们的对称点，用[文本工具]分别将它们P1/，P2/，P3/。

P1: (-1.00， 0.50)P'1: (0.50， -1.00)6．

用[选择箭头]同时选中P1，P2，P3，单击[度P: (0.00， 1.00)P'2: (1.00， 0.00)2量] 菜单中的[坐标]，屏幕上出现图5；用[选P3: (1.00， 2.00)P'3: (2.00， 1.00)择箭头工具]同时选中P1/，

P2/，P3/单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现图6。

x象，发现它

1

7．

学生既可以从点的位置上形象的看到点P1/，

P2/，P3/均落在函数ylog2x的图象上；也可以利用点的坐标验证点P1/，

P2/，P3/均落在函数ylog2x的图象上。

问题3 8．

用[选择箭头工具]选中y2x的图象，单击[构造]菜单中的[对象上的点]，用[文本工具]给点标签为P0，再用[选择箭头工具]选中点P0，单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现P0的坐标。

9．

画出点P0关于直线yx的对称点P0/，并度量出它的坐标。发现点P0/也在函数ylog2x的图象上。

10．

单击[编辑]菜单中的[操作类按扭]，单击[动画]，出现图7，单击[确定]。屏幕上出现[运动点]按扭，单击按扭点P0与P0/同时在各自的曲线上运动或停止。可以清楚得看到P0/始终落在函数ylog2x的图象上。

11．

可以先将函数ylog2x的图象隐藏，将P0/点设置追踪点（单击[显示]菜单中的[追踪点]）。当点P0/随点P0的运动而运动时会留下痕迹；再显示ylog2x的图象，发现点P0/的痕迹与ylog2x的图象重合。

12．

或同时选中P0与P0/，单击[构造]菜单中的[轨迹]，立刻得到点P0/的轨迹与ylog2x的图象重合。

问题4 由上述探究过程都可以得到以下结论：函数y2及其反函数ylog2x的图象关于直线xyx对称。

（问题2、3、4祥见页面2——“对称点”）

问题5（祥见页面3——“a变化”）

13．

单击[图表]菜单中的[建立坐标系]，屏幕上出现一个平面直角坐标系，用[直线工具]画一条过原点和（5，0）点的线段，用[选择箭头工具]选择线段，单击[构造]菜单中的[射线上的点]，在线段上出现一个点，点的标签为A，单击[度量]菜单中的[横坐标]，屏幕上出现xA=3.36,利用[文本工具]将标签改为a。

14．

单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击a,^,x，其中^,x在函数编辑器上，a在屏幕上，单击[确定]后立即出现函数ya的图象。把上述图

2 x

象设置成粗线，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

15．

单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(, a,),ln在函数编辑器的函数选择菜单上，a在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数ylogax的图象。把上述图象设置成粗线

，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

16．

选中点A，单击[编辑]菜单中的[操作类按扭]中的[动画]，出现对话框，单击[确定]，出现[运动点]按扭，选择[文本工具]，将按扭标签改为“运动点A”，单击按扭，点A在线段上运动，函数图象也跟着动。再画直线yx，让学生观察上述图象，发现它们的对称关系。

17．

重复上述第8，第9，第10三个步骤，得到图8，单击[运动点A]或单击[运动点B]按扭，也可同时单击这两个按扭，让学生观察，点B与点B/的坐标的变化情况。从而进一步验证了上述结论对于（a0,a1）的情况下仍然成立。

18．

验证两个互为反函数的图象关于yx对称

任取yx图象上的一个点B，在度量出

B的横坐标和纵坐标xB,yB，再依次点击yB,xB，再单击[图表]菜单中的[绘制点]，即绘制点B关于

yx的对称点C，单击[显示]x菜单中的[追踪点]，让点B在yx上运动，可以发现点C的轨迹与ya的反函数ylogax的图象重合。画出过点B与点C的线段，单击[构造]菜单中的[线段的中点]，单击[文本工具]，将中点的标签记为点M，单击[度量]菜单中的[坐标]，得点M的坐标，单击[构造]菜单中的[轨迹]，当B运动时，发现M在直线yx上运动。

上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按扭（具体见课件）。

3