小结优质课一等奖

等比数列前n项和（第1课时）

郫都区第一中学 方向东

一、教材分析

（一）教学内容

《等比数列的前n项和》是高中数学人教A版必修5第二章第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．

（二）地位与作用

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．

二、学情分析

（一）知识基础：

前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. （二）认知水平与能力：

高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合

作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错．

（三）任教班级学生特点：

我所教两个班都是文科班，学生基础知识不够扎实、思维不很活跃，由于从一开始就注重引导学生合作探究，现在能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．

三、教学目标

（一）知识与技能目标

1、初步掌握等比数列的前n项和公式及经历公式的证明过程，体会错位相减法求数列的前n项的和．

2、由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n项和公

（二）过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想、类比等重要数学思想．

（三）情感、态度与价值目标

在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神，并从中获得成功的体验.

四、教学重、难点

教学重点：使学生掌握等比数列的前n项和公式，用等比数列的前n项和公式解决实际问题. 教学难点：灵活应用公式解决有关问题. 五、教学方法

利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 六、教学过程：

（一）复习回顾：

首先回忆一下前两节课所学主要内容：

1.等比数列：anq(n2) an12.等比数列的通项公式: ana1qn1

3.等差数列前n项和及推导方法：倒序相加法

Sna1a2a3an1ana2a1Sn1anan1an21

2 12:2Snna1an

Snna1an

2问题1：怎么求等比数列的前n 项和呢？引入新课

（二）讲解新课：

创设情境

兴趣导入

【趣味数学问题】

国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上一颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上四颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一个格子内的麦粒数是前一个格子内麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子。并把这些麦粒奖赏给您的仆人吧”。国王认为这样的奖赏很轻松，于是爽快地答应了。

问题2：这位大臣所要求的麦粒数是多少呢？国王能不能满足他的要求呢？

学生回答：大臣所要求的麦粒数为：S641248...263问题3：（1）1,2,4,8...263构成什么数列？

（2）1248...263应归结为什么数学问题呢？

学生回答：（1）等比数列（2）等比数列前64项的和

问题4：如何求这个等比数列前64 项和S641248...263呢？

学生活动：分组讨论回答

S641248...263 （1）

2S64248...263264 （2）

（2）-（1）得：S642641

2641这个数据很大，超过了1.841019.估计千粒麦子的质量约为40

克，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，因此，国王是不可能实现他的诺言. 回顾上述求和过程

问题5:（1）为什么上面（1）式要乘以2？

（2）这种推导等比数列求和的方法可不可以推广到一般情况？

（3）一般地，设等比数列a1,a2a3,an，公比为q，如何求它的前n项和Sna1a2a3an

学生分组讨论，并实物投影展示学生的讨论成果

由等比数列的性质以及上述求和的过程得：

Sna1a1qa1q2a1qn2a1qn1 1q得： qSna1qa1q21 2

a1qn1a1qn 12得： 1qSna1a1qn

——说明：这种求和的方法称为错位相减法。

当q1时，Sna11qn1q，当q1时，Snna1

a11qn,q1 所以，Sn1q

,q1na1问题6：你还能想到其他方法推导等比数列前n项和公式吗？

学生分组合作探究

由等比数列的定义， 根据等比的性质，有 即

aa2a3a4...nq a1a2a3an1a2a3a4...anq

a1a2a3...an1Sna1q(1q)Sna1anq

Snana1anq 1q 当q1时，

Sn

当q=1时，Snna1

（板书）等比数列前n项和公式：

a11qna1anq,q1,q1Sn1q或Sn1q

na,q1,q11na1练习：已知an为等比数列，请完成下表

题号

（1）

（2）

a1

q

n

an

sn

3 8 2 1

26

1

8

（3）

-2

-96 -63 学生自主完成，并与等差数列相关问题类比

a1,an,sn,n,q五个量中“知三求二”

（三）新知应用

例1、

求等比数列

,,......

的前8项的和

11a1,q,n822181 解：

122255s8125612111248 变式训练：

的前多少项的和为1.等比数列1,,,.....111248127？n7

64

的第5项到第10项的和？2.求等比数列1,,,......11124863

5123.如果一个等比数列前5项的和为10，前10项的和为50，求该数列前15项的和

（四）归纳小结：（学生归纳小结）

（1）知识小结：等比数列前n项和公式的推导及应用

（2）思想、方法小结：错位相减法，类比的方法，特殊到一般的思想，分类讨论思想，方程的思想等

（五）课后思考：

求数列n2n的和

（六）作业：

（七）板书设计：