习题2.1课时教学实录

2.2.1指数函数及其性质（一）

一、选择题

1)的定义域是（

）

1．函数f（x）＝log1(x－2

A．（1，＋∞）

C．（－∞，2）

B．（2，＋∞）

D．(1，2]

解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，

x－1＞0

所以log(x－1)0解得1＜x≤2．

12

答案：D

2．函数y＝log1（x2－3x＋2）的单调递减区间是（

）

2

A．（－∞，1）

C．（－∞，

B．（2，＋∞）

D．（3）

23，＋∞）

2

解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝log1（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．

2

答案：B

3．若2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，则

A．4

C．1或4 y的值为（

）

x1

B．1或

41

D．

4yx

错解：由2lg（x－2y）＝lgx＋lgy，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝1x或＝1．

4y

答案：选B

正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．

答案：D

4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（

）

A．（0，C．（1） 2

B．（0，1）

21，＋∞）

2D．（0，＋∞）

解析：因为x∈（－1，0），所以x＋1∈（0，1）．当f（x）＞0时，根据图象只有0＜2a＜l，解得0＜a＜

答案：A

5．函数y＝lg（

1（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．

22－1）的图象关于（

）

1－x

B．x轴对称

D．直线y＝x对称

A．y轴对称

C．原点对称

解析：y＝lg（21＋x1＋x1＋x－1）＝lg，所以为奇函数．形如y＝lg或y＝lg1－x1－x1－x1－x的函数都为奇函数．

答案：C

二、填空题

已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是__________．

解析：a＞0且a≠1（x）＝2－ax是减函数，要使y＝loga（2－ax）是减函数，则a＞1，又2－ax＞0a＜

答案：a∈（1，2）

7．函数f（x）的图象与g（x）＝（的单调递减区间为______．

解析：因为f（x）与g（x）互为反函数，所以f（x）＝log1x

32（0＜x＜1）a＜2，所以a∈（1，2）．

31x）的图象关于直线y＝x对称，则f（2x－x2）3

则f（2x－x2）＝log1（2x－x2），令（x）＝2x－x2＞0，解得0＜x＜2．

3

（x）＝2x－x2在（0，1）上单调递增，则f［（x）］在（0，1）上单调递减；

（x）＝2x－x2在（1，2）上单调递减，则f［（x）］在［1，2）上单调递增．

所以f（2x－x2）的单调递减区间为（0，1）．

答案：（0，1）

8．已知定义域为R的偶函数f（x）在［0，＋∞］上是增函数，且f（

则不等式f（log4x）的解集是______．

1）＝0，

211）＝f（）＝0．又f（x）在［0，＋∞］221上是增函数，所以f（x）在（－∞，0）上是减函数．所以f（log4x）＞0log4x＞或log4x21＜－．

21

解得x＞2或0＜x＜．

21

答案：x＞2或0＜x＜

2

解析：因为f（x）是偶函数，所以f（－

三、解答题

9．求函数y＝log1（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．

3

解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R，所以函数的值域是R＋＋．因为函数y＝log1（x2－5x＋4）是由y＝log1（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，33函数y＝log1（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）352上为减函数，在［5，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝log1233（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝log1（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝log1（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝log133（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．

10．设函数f（x）＝23－2x＋lg，

3x＋53＋2x

（1）求函数f（x）的定义域；

（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；

（3）已知函数f（x）的反函数f1（x），问函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点吗?－－

若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．

解：（1）由3x＋5≠0且＜3－2x5333＞0，解得x≠－且－＜x＜．取交集得－＜x3＋2x32223．

2

（2）令（x）＝3x＋5，随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；

3－2x6＝－1＋随着x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．

3＋2x3＋2x3－2x

又y＝lgx在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y＝lg是减函数，所以f3＋2x23－2x（x）＝＋lg是减函数．

3x＋53＋2x

（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．

设函数f（x）的反函数f1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义－域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝22－．所以函数y＝f1（x）的图象与x轴有交点，交点为（，0）。

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