阅读与思考 集合中元素的个数教案设计（一等奖）

命题要点：1集合的概念[2010年高考有5省考查以下简称′10年5考，2011年高考有3省考查以下简称′11年3考]；2集合的运算′10年10考，′11年12考；3集合间的基本关系′10年2考，′11年3考

A级

(时间：40分钟

满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·北京)已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么∁UP等于(

)．

A．(－∞，－1)

C．(－1,1)

解析

∵P＝{x|－1≤x≤1}，

∴∁UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

答案

D 2．(2011·辽宁)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B等于(

)．

A．{x|－1＜x＜2}

C．{x|－1＜x＜1}

B．{x|x＞－1} D．{x|1＜x＜2} B．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析

由A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，得A∩B＝

{x|1＜x＜2}．

答案

D 3．(2011·湖南)设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩∁UN＝{2,4}，则N＝(

)．

A．{1,2,3}

B．{1,3,5}

C．{1,4,5}

D．{2,3,4} 解析

画出Venn图，阴影部分为M∩∁UN＝{2,4}，∴N＝{1,3,5}．

答案

B 4．(2011·北京海淀二模)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为(

)．

A．{1}

B．{0,1}

C．{1,2}

D．{0,1,2} 解析

因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}．

答案

A 5．(2011·惠州第二次调研)已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于(

)．

A．[1，＋∞)

B．[－1，＋∞) C．[1,2)

D．[－1,2) 解析

M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}＝{y|y∈R}，∴M∩N＝{y|y≥1}．

答案

A 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________. 解析

A∩B＝{－1,1,2,4}∩{－1,0,2}＝{－1,2}．

答案

{－1,2} 7．(2011·上海)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁UA＝________. 解析

∁UA＝{x|x＜1}．

答案

{x|x＜1} 8．(2011·南京模拟)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________. 解析

A，B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．

答案

{(0,1)，(－1,2)} 三、解答题(共23分) 9．(11分)若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b. 解

∵A＝B，∴B＝{x|x2＋ax＋b＝0}＝{－1,3}．

－a＝－1＋3＝2，∴∴a＝－2，b＝－3. b＝－1×3＝－3，10．(12分)设集合A＝{x2,2x－1，－4}，B＝{x－5,1－x,9}，若A∩B＝{9}，求A

∪B. 解

由9∈A，可得x2＝9或2x－1＝9，

解得x＝±3或x＝5. 当x＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素重复，故舍去；

当x＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}；

当x＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，

此时A∩B＝{－4,9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．

综上所述，A∪B＝{－8，－7，－4,4,9}．

B级

(时间：30分钟

满分：40分) 一、选择题(每小题5分，共10分) 1．(2011·湖北八校联考(二))若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是(

)．

A．2

B．3

C．4

D．5 解析

B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．

答案

B 2．(2011·杭州二检)已知集合A＝{x|x＝a＋(a2－1)i}(a∈R，i是虚数单位)，若A⊆R，则a＝(

)．

A．1

B．－1

C．±1

D．0 解析

∵A⊆R，∴A中的元素为实数，所以a2－1＝0，即a＝±1. 答案

C 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．(★)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．

解析

(数形结合法)A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.如图：

答案

(－∞，1] 【点评】

本题采用数形结合法，含参数的集合运算中求参数的范围时，常常结

合数轴来解决，同时注意“等号”的取舍. 4．设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x＜3}，B＝{y|y≥1}，则A*B＝____________________________________. 解析

由题意知：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[1,3)，

∴A*B＝[0,1)∪[3，＋∞)．

答案

[0,1)∪[3，＋∞) 三、解答题(共22分) 5．(10分)已知A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．

解

∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3，

又A∪B＝{x|x＞－2}，∴－2＜a≤－1，

又A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴－1≤a＜1，∴a＝－1. 6．(★)(12分)设集合A＝{x|x2＋4x＝0，x∈R}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

思路分析

本题体现了分类讨论思想，应对集合B中所含元素个数分类讨论．

解

∵A＝{0，－4}，∴B⊆A分以下三种情况：

(1)当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得－2a＋1＝－4，a2－1＝0，＝－1，此时B＝{0}满足题意．

(3)当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1. Δ＝4a＋12－4a2－1＞0，

解得a＝1. (2)当∅≠BA时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．

【点评】

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，是历年来高考考查的重点，其基本思路是将一个复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.