习题3.1教学设计(第二课时)

方程的根与函数的零点习题课

成都市中和中学

吴乐军

学习目标：

基础目标：理解函数零点的意义，能判断函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解零点与方程根的关系。

发展目标：通过函数零点与方程根的联系，体会事物间相互变化的辩证思想。

重点：零点的概念与求法、零点问题的转化

难点：零点的确定、零点问题的转化

活动一、知识梳理：

1.函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2.方程、函数、函数图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3.函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也是方程f(x)＝0的根．

活动二、关键识别

1．函数的“零点”是一个点吗？

提示：不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是1，则a为何值？

提示：f(1)＝a＋2＝0，∴a＝－2. 3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则

f(a)·f(b)<0一定成立吗？

提示：不一定．可能y＝f(x)在x＝a或x＝b处无定义；即使有定义，也可能f(a)·f(b)>0.如图所示．

活动三：知识应用

考点一

求函数的零点

求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．

[自主解答]

令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，

即(x3－x)－(6x－6)＝0，

∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1) ＝(x－1)(x2＋x－6) ＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0 解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，

∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.

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求函数y＝fx的零点通常有两种办法：其一是令fx＝0，根据解方程fx＝0的根求得函数的零点；其二是画出函数y＝fx的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.本题由于画函数图象比较困难，因此，只用了第一种方法.

1．求下列函数的零点．

(1)y＝x2－2x；

(2)y＝ln x－2. 解：(1)令y＝x2－2x＝0，则x＝0或x＝2，

∴y＝x2－2x的零点为0,2. (2)令y＝ln x－2＝0，则ln x＝2＝ln e2. ∴x＝e2.∴函数y＝ln x－2的零点为e2.

考点二

判断函数的零点、方程的根所在的区间

函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是

(

) A．(－2，－1)

B．(－1,0) C．(0,1)

D．(1,2) －[自主解答]

因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e2－4<0，f(－1)－＝e1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数一个零点在(0,1)．

[答案]

C

确定函数零点、方程根所在区间，通常利用函数零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应函数值符号是否相反．

2．(重庆高考)若a

(

) A．(a，b)和(b，c)内

B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内

D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

解析：由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

答案：A 考点三

判断函数零点个数

求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

[自主解答]

法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，

f(2)＝4＋lg 3－2>0，

∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，

又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．

x法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2和g(x)＝lg(x＋1)的草图．

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由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，

即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．

1若函数fx在[a，b]上单调，且fafb<0，则fx存在零点，且在a，b上只有1个零点. 2若通过构造有fx＝gx－hx，且gx、hx图象容易作出，则f(x)的零点个数就是g(x)与h(x)图象交点个数，通过作图容易得到f(x)零点个数．

(3)特别地，对于二次函数的零点个数可以通过Δ来判断．

3．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．

解：设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，如图所示．

由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，∴函数f(x)有一个零点．f(2)23＝log22＋2－7＝－2，f(3)＝log23＋2－7>0，∴f(2)·f(3)<0.∴零点的一个大致区间为(2,3).

活动四、拓展延伸

已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两实根一个小于1，另一个大于1求实数k的取值范围．

[巧思]

若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组．如果从函数观点出发，2令f(x)＝2kx－2x－3k－2，则由根的分布，知函数f(x)的图象只能如图所示．

k>0，对应的条件是或解出即可．

f1>0，f1<02[妙解]

令f(x)＝2kx－2x－3k－2，为使方程

f(x)＝0的两实根一个小于1，另一个大于1，

k>0，k<0，只需或

f1<0f1>0，

k<0，

k>0，k<0，即或

2k－2－3k－2<02k－2－3k－2>0，解得k>0或k<－4. 故k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．

活动五、课堂小结

学生完成、老师补充

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活动六、测评反馈

11.．函数f(x)＝lg x＋的零点是

(

) 2110A.

B.10

C.

D．10 101011解析：∵lg x＋＝0，∴lg x＝－，

22110∴x＝10－＝. 210答案：C 2．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为

(

) 111111A．[0，]

B．[，]

C．[，]

D．[，1] 88442211π1π1解析：f()·f()＝(＋log2)(＋log2) 424422ππ＝(－2)(－1)＜0 42答案：C 3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于

(

) A．0

B．1 C．－1

D．不能确定

解析：∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f(x)有三个零点，则其和必为0. 答案：A 4.若函数f(x)＝x2－x＋a有两个零点，则a的取值范围是________．

解析：∵Δ＝(－1)2－4×1×a＝1－4a. 1而f(x)＝x2－x＋a有两个零点，即方程x2－x＋a有两个不相等的实数根．∴Δ>0即a<. 41答案：(－∞，) 4x－15.若函数f(x)＝，则g(x)＝f(4x)－x的零点是________．

xx－14x－1解析：∵f(x)＝，∴f(4x)＝. x4x4x－1则g(x)＝－x，令g(x)＝0. 4x4x－11有－x＝0，解得x＝. 4x21答案：

26.试判断方程x3＝2x在区间[1,2]内是否有实数根？

解：因为函数f(x)＝x3－2x的图象在区间[1,2]上是连续曲线，并且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝8－4＝4>0，所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)＝x3－2x在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x3＝2x在区间[1,2]内至少有一个实数根．

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