习题3.1优质课教案内容

教案

数学必修1习题3.1 B组题1延伸拓展课

一元二次方程有解问题的解法探究

汕头市金山中学

卢镇豪

【教学任务分析】

1. 通过一元二次方程有解问题的解法探究，使学生掌握本问题的三种解法：求根公式法、二次函数图象法、分离参数法，并能利用恰当的方法解决一元二次方程在某个区间内有唯一解、有两个不同解或有解的问题。

2. 使学生初步学会利用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想的一些思想来思考数学问题，解决数学问题。

3. 使学生在“问题解决”的过程中感悟数学学习的本质在于思想和方法。

【教学重点、难点】

重点：一元二次方程在某个区间内有解的参数讨论，解题方法的有效选择，数学思想的适时参透。

难点：区间端点值的准确取舍，克服难点的一个做法是代入验证法。

【教学结构设计】

一个问题、三个解法、三个变式，

解法剖析与总结，数学思想的参透。

【教学过程】

一、基础知识回顾

一元二次方程

ax

2



bx



c



0

(

a



0

)

①若方程有两个不同的实根







b

2



4

ac



0

，

②若方程有唯一实根0

，

③若方程没有实根0

。

练习1

基础练习: 1、已知关于x的方程x2xm0，

①若方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围是

m②若方程有唯一实根，则实数m的取值是

m2、已知关于x的方程x2mx10

，

1

41

4



2

①若方程有实根，则实数m的取值范围是

m

2

或

m



②若方程有两个正根,则实数m的取值范围是

二、问题拓展

解法探究

【例题

】

问题⑴

已知关于x的方程x2xm0，

m2在区间（-1，1）内有两个不同的实根，求实数m的取值范围;

分析：首先△>0,其次两根必须在(-1,1)内

方法1,求根公式法

11

4m







1



4

m



0



m

x

,

x

2





;

又1422

114m114m214m1



2





1

即

114m1114m21114m214m3014m10m

14

【点评】本解法想法直接，容易理解，适应于根比较简单的情况。

方法2,二次函数图象法, 设f(x)x2xm

14m01

1

m141列不等式组 f(1)0112

m00m14f(1)0m2

【点评】本解法需要把方程问题转化为函数问题，并结合函数图像求解，可以避免解无理不等式。本解法体现了函数的思想。

方法3，分离参数法，把方程化为

mx2x,x(1,1)有两个不同的实根。



x

2



x

,

x



(

)的

图

象和

y

=

m

图象

,

作

y



1

,1的

1由此可知两个图象有两个不同交点时,0

4

【点评】本解法把参数分离到方程的一边去，并构造两个函数图像的交点个数问题，直观形象，适应于参数容易分离的方程，且两个函数图像容易作图的情况。本解法体现了等价转化的思想、数形结合的思想。

问题⑵已知关于x的方程x2xm0在区间（-1，1）内有唯一的实根，求实数m的取值范围

分析

法1

分离参数法，把方程化为

mx2x,x(1,1)有唯一一个实根。

1由⑴的法3知两个图象有唯一交点时，m或2m0

4【点评】本解法与⑴的法3相同。

法2 设

f(x)x2xm

利用二次函数图象进行分类讨论（通法）

对称轴

x12

①

0

②

且1-112m14f(1)0,

所以

1m或2m0

4且f(1)0,2m0

【点评】本解法需要把方程问题转化为函数问题，并结合函数图像分类求解，注意区间端点值的准确取舍。本解法体现了分类讨论的思想。本题特殊解法：抓住对称轴是定的，只需要f(1)0且f(1)0,或0即可。若对称轴是变化的，例如

1[,3]2问题⑶已知关于x的方程xmx10

在区间2

上有唯一实根，求m的取值范围. 2f(x)xmx1

解

分类讨论

设m2401m13

322

.

①

2

m2

115f()f(3)0m

33222

②

1212

1551f()0mx2x10x22，此时22或2 不适合

③

时，12

3 ④

f(3)0时

m10101x2x10x3，此时33或3

适合

，105m2

综合上述知m的取值范围是m2或3

2问题（4）已知关于x的方程xxm0在区间（-1，1）内有实根，求m的取值范围

分析

分离参数法，问题相当于方程mx2x在x(1,1)时有解。

2

1

y

x

1

,

x







1

,

1



(



2

,1]x(x

)

2

的值域为21

m的取值范围是m(2,]444

【点评】本解法把参数分离到方程的一边去，并转化为函数的值域问题，避免了复杂的分类讨论，简单明了，是个好解法。本解法适应于方程解的个数没有明确要求只是有解的要求的情况。本解法体现了等价转化的思想、函数的思想。

2问题（5）已知关于x的方程xxm0

在区间（-1，1）和（-2，-1）内各一根，求m的取值范围

分析

二次函数图象法

,

设

f

(

x

)



x

2



x



m

f(x)根据的图象，依题意得

f(2)0f(1)0f(1)0

2m0m02m0

2m0【点评】本解法需要把方程问题转化为函数问题，并结合函数图像求解，，简单明了，是个好解法。本解法体现了函数的思想、数形结合的思想。

练习2

巩固练习（根据课堂情况灵活使用）

已知关于x的方程x2mx10

，

1，(1)若方程在区间2上有实根，求m的取值范围.(2)若方程的两根一个在区间(0,1)内,另一个在区间(2,3)内,求m的取值范围. 解(1)由原方程得

mx1在x[1,2]有解x

1,

x

由对勾函数的图像

设g(x)x

g(x)在1，2上为增函数5m2,,25g(x)的值域为2，2

5m,22(2)，依题意得

f(0)0f(1)0

f(2)0f(3)0

105m32三

解法总结

对于一元二次方程在区间内有解问题

，常用解法有求根公式法、二次函数图象法、分离参数法。方程问题转化为函数问题，利用函数求解是函数思想的重要体现。求解过程常常需要数形结合、分类讨论、等价转化。对于区间内有解问题，一般要区别解的个数，选择适当的解法，如果题目要求唯一解或二个不同的解，三种解法都可使用。如果题目只是要求在区间内有解，那么用分离参数法转化为求函数的值域，可以避开复杂的分类讨论，是一个比较好的方法。

四

课后作业

已知关于x的方程x22mx2m30在区间

[0，2]上有实根，

求实数m的取值范围。

答案



1问题（3）

已知关于x的方程x2mx10

在区间[,3]

上有唯一实根，用分离参23m1

2数法求m的取值范围. 

另

解

问题转化为



m



x



1

x





1

,

在3上有唯一解x2作yx11,x,3的图象及ym的图象x2可知m2或211m323即m2或105m32