实习作业教案和学案内容

人教版高中数学必修1 《3.2.2函数模型的应用实例——创建函数模型》

教学设计

成都市新都香城中学

魏波

一、教学目标

1、知识与技能

能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、过程与方法

体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

3、情感、态度、价值观

深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。

二、教学重点、难点：

重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，选择恰当的函数模型，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、教学方法及教学用具

1、学法：微课引入、教师引导、讨论升华、学生自查、阅读教材，尝试实践、合作交流、师生共同探索。

2、教学用具：多媒体、数学GeoGebra软件、笔记本8台、温度测量仪一台、铁架台、

四、教学设想

（一）利用微课，复习旧知、学生展示、引出课题

首先展示提前一天要学生学习的微课预习视频，然后请学生展示完成的微课作业！

微课作业第一题：

1、课本P104练习第1题. 已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%。

（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1950年的两倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿，你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

微课作业第二题：

2、课本P106练习第二题

某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分为为52,61,68.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型yax2bxc，乙选择了模型ypqxr，其中y为患病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r都是常数，结果4月，5月，6

月份的患病人数分别为74,78,83，你认为谁选择的模型较好？

设计目的：通过学生展示交流作业，达到巩固旧知，引出新知识的目的。同时培养学生自主能力、表达能力。

（二）尝试实践 探求新知

提出新的问题：请学生思考，之前我们研究的是应用已知的函数模型解决问题，那在没给函数模型时，能否通过自己建立函数模型来解决问题？

例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表

（身高：cm；体重：kg）

身高

60 70 80 90 100 110 体重

6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高

120 130 140 150 160 170 体重

20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 1）

根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？

探索以下问题：

1）借助计算机数学GeoGebra软件，根据统计数据，画出它们相应的散点图；

2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？

3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系比较合适？

4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.

5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？

本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.

根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测.

此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.

课堂练习、小组上台展示：

1、下表是弹簧伸长的长度X与拉力F的相关数据。

x/cm

14.2

28.8

41.3

57.5

70.2

F/N

1 2 3 4 5 描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式。

分小组探索，过程如下：

1）首先根据数据表，利用计算机画出散点图；

2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：f(x)kxb(k0);

二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);

幂函数模型：h(x)axb(a0);

指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定，教师再讲可以利用计算机数学GeoGebra软件的拟合功能直接得出解析式。

题后小结，巩固提高. 通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.

利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

用

函选求择画收 符合

数函检模函散数

集型数验

点数模解模 实际

图

据

型

决型

实

际

问题 不符合实际

…

提出新的问题：请同学们思考，之前我们研究的是应用已知数据、建立函数模型、解决问题，那么面临没有数据的问题，怎么办？——先收集数据

例二、课堂实验：研究物体在常温环境下的温度变化，尝试创设冷却模型。

实验仪器：数字温度测量仪、铁架台、铁杯、开水、计时器、笔记本电脑、数学GeoGebra软件。

实验过程：把学生分成8组，每组一台电脑，分工合作，完成下面步骤并思考相关问题。

（ 1）记录出水温随时间变化的图象；

（2）在计算机里面绘出散点图，选择合适的函数模型。

（3）建立一个能基本反映该变化过程的水温y（℃）关于时间x(s)的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.

（4）引导学生进一步操作和体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，合作交流讨论.并请小组上台展示成果，再师生交流评价。

（5）教师介绍牛顿的冷却模型：

英国物理学家和数学家牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型。如果物体的初始温度为1，环境温度为0，则经过时间t后物体的温度将12

kte满足其中k为正的常数。请设计一个方案，对牛顿的010冷却模型进行验证！

询问学生为什么他们的函数模型和牛顿的不一样？思考其中的原因。

设计意图：通过现场实验，让学生体会数据收集的重要性，让学生完整的亲自操作一下用函数模型解决实际问题的完整过程，体会利用拟合函数解决实际问题的思想方法，体会好的模型的来之不易和优越性，培养学生的探索精神、实践精神、实验能力、合作交流讨论能力等等。

（三）归纳小结，巩固提高. 通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法.

利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

1. 函数法是刻画现实问题的重要方法手段；

2. 掌握几种常见的刻画实际问题的重要函数模型，并会选择和修正模型. 3. 注意培养利用计算机收集数据、处理数据，分析数据，画图的能力；

4、现在的时代是“大数据”时代！

（四）布置作业：

课后作业

利用牛顿冷却模型探求：

1、一杯开水的温度降到50摄氏度时大约需要多少时间？

2、应在炒菜之前多少时间将冰箱里的肉拿出来解冻？

实验题：

3、在寒冬季节，是冷水管容易结冰，还是热水管容易结冰？你可以做做牛奶实验，先煮沸牛奶，待到冷却后再倒入冰盘，放进电冰箱。这时再同时把热牛奶放进去了。一个多小时以后，打开电冰箱，看看谁先结冰？

四、教学反思

笔者认真研究了教材，教材的函数应用部分中并没有数据收集的例题，但在课本的P108页课后信息技术应用中向学生展示了如何利用计算机收集数据，然后再课本的P110页展示了牛顿的冷却模型，笔者通过查询，发现牛顿的冷却模型还有一个非常有趣的现象——“姆潘巴效应”。故笔者认为把这几部分融为一体，设计一个数学实验课很有意思。所以本堂课的主要思路就是让学生亲自做数学实验，利用计算机收集数据、分析数据、建立数学模型、应用数学模型解决实际问题。

函数的应用是高一上期一个很容易被教师忽视的部分，一方面不好上，另一方面这个课不容易上好，需要准备大量的仪器和设备，而且还需要学生亲自操作、实验、实践，课堂需要极大的开放性。但是反过来想，这也是高中一个非常好的展示数学，展示数学应用性的课，也是少有的数学实验课。这堂课将向学生展示数学的用途、数据的收集、处理方法，函数模型的建立、修正、应用等等。可以培养学生多方面的能力。